1) Какова площадь треугольника с двумя сторонами, равными 2√3 и 23, и углом между ними равным 60°? 2) Если площадь

Тема: Площадь треугольников и прямоугольников

1) Площадь треугольника с двумя сторонами, равными 2√3 и 23, и углом между ними равным 60°:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (C)$, где $a$ и $b$ - длины сторон треугольника, $C$ - угол между ними, а $S$ - площадь треугольника. Подставим известные значения: $a=2\surd 3$, $b=23$ и $C=60°$.

$S=\frac{1}{2}\cdot 2\surd 3\cdot 23\cdot \sin (60°)$

Для нахождения синуса 60° воспользуемся таблицей значений или калькулятором. Получим $S=\frac{1}{2}\cdot 2\surd 3\cdot 23\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=69\surd 3\approx 119.79$.

2) Площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 11 и DE - средняя линия:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника, если известны длины его сторон и длина средней линии: $S^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{4\cdot a^2\cdot b^2-(c^2+d^2-e^2{)}^2}$, где $a$, $b$, $c$, $d$ - стороны треугольника ABC, а $e$ - длина средней линии.

Подставим известные значения: $S^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{4\cdot A{B}^2\cdot B{C}^2-(A{C}^2+4\cdot D{E}^2-C{D}^2{)}^2}$.

Заметим, что стороны треугольника ABC неизвестны, поэтому задача не имеет однозначного решения.

3) Площадь большего многоугольника, если периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:7, а площадь меньшего многоугольника равна 2:

Площадь многоугольника пропорциональна квадрату соответствующей длины его стороны. Так как периметры многоугольников относятся как 2:7, то длины их сторон будут относиться как $\sqrt{\frac{2}{7}}$.

Зная, что площадь меньшего многоугольника равна 2, мы можем найти площадь большего многоугольника, используя формулу $S^{\prime }={\left(\frac{L^{\prime }}{L}\right)}^2\cdot S$, где $S$ - площадь меньшего многоугольника, $L$ - периметр меньшего многоугольника, $L^{\prime }$ - периметр большего многоугольника, а $S^{\prime }$ - площадь большего многоугольника.

Подставив известные значения, получим $S^{\prime }={\left(\frac{7}{2}\right)}^2\cdot 2=49$.

4) Длина большей стороны прямоугольника, если его площадь равна 1,75, а большая сторона больше меньшей стороны на 3:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S=a\cdot b$, где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника, а $S$ - площадь прямоугольника.

Подставим известную площадь и уравнение, которое описывает разность между большей и меньшей сторонами прямоугольника: $a-b=3$.

Подставив значение $a=b+3$ в уравнение площади, получим $S=(b+3)\cdot b=b^2+3b$.

Зная, что площадь равна 1,75, можно составить уравнение: $1,75=b^2+3b$.

Решив это уравнение, получим значение $b\approx 0,58$.

Тогда $a=b+3=0,58+3=3,58$.

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника составляет примерно 3,58.

5) Периметр прямоугольника, если его площадь равна 135, а отношение соседних сторон равно 3:5:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S=a\cdot b$, где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника, а $S$ - площадь прямоугольника.

Подставим известную площадь и уравнение, которое описывает отношение между сторонами прямоугольника: $a:b=3:5$.

Из этого уравнения можно найти отношение сторон прямоугольника: $a=\frac{3}{5}\cdot b$.

Подставив значение $a=\frac{3}{5}\cdot b$ в уравнение площади, получим $S=(\frac{3}{5}\cdot b)\cdot b=\frac{3}{5}\cdot b^2$.

Зная, что площадь равна 135, можно составить уравнение: $135=\frac{3}{5}\cdot b^2$.

Решив это уравнение, получим значение $b\approx 14$.

Тогда $a=\frac{3}{5}\cdot b=\frac{3}{5}\cdot 14=8,4$.

Таким образом, периметр прямоугольника составляет $2a+2b=2\cdot 8,4+2\cdot 14=16,8+28=44,8$.