1. Каков объем меньшего сегмента, если диаметр окружности сечения шара составляет 30 см, а его радиус равен 20

Тема урока: Геометрия шара
Инструкция:
1. Объем сегмента можно найти через объем шарового сектора и цилиндра с высотой равной радиусу шара. Объем шарового сектора находится по формуле V = (2/3) * pi * r^3, а объем цилиндра - V = pi * r^2 * h, где r - радиус шара, h - его радиус. Так как у нас диаметр сечения шара равен 30 см, то его радиус будет половиной этой величины - 15 см. Подставляем значения в формулы и находим: V = (2/3) * pi * 15^3 = 4500 * pi см^3.
2. Площадь поверхности шара находится по формуле S = 4 * pi * r^2, где r - радиус шара. Диаметр сферы можно найти через площадь поверхности по формуле S = pi * d^2/4, где d - диаметр сферы. Сравниваем формулы и заменяем значения: 4 * pi * r^2 = pi * d^2/4 => d^2 = 16 * r^2 => d = 4 * r. Таким образом, диаметр сферы в нашем случае будет равен 4 * sqrt(2500π) = 100 см.
3. Площадь поверхности шара находится по формуле S = 4 * pi * r^2, а объем - V = (4/3) * pi * r^3, где r - радиус шара. Так как площади поверхностей шаров относятся как 4:9, то (4/3) * pi * r_1^3 / (4/3) * pi * r_2^3 = 4/9, где r_1 и r_2 - радиусы шаров. Сокращаем формулы и находим отношение радиусов: r_1^3 / r_2^3 = 4/9 => (r_1 / r_2)^3 = 4/9 => r_1 / r_2 = (4/9)^(1/3). Значение данного выражения приближенно равно 0.774, то есть отношение диаметров около 0.774 * 2 = 1.548.
4. Объем шара находится по формуле V = (4/3) * pi * r^3, площадь поверхности - S = 4 * pi * r^2, где r - радиус шара. Мы знаем, что V = 288 дм³, поэтому подставляем значение в формулу: (4/3) * pi * r^3 = 288 => r^3 = 216 / pi => r = 6 дм. Теперь можем найти площадь поверхности: S = 4 * pi * 6^2 = 144 * pi дм².
5. Площадь сечения шара можно найти через площадь треугольника, где сторона равна длине отрезка, соединяющего центр шара с точкой пересечения плоскости, а высота - радиус шара. Площадь треугольника находится по формуле S = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника, h - его высота. Подставляем значения и находим: S = (1/2) * 2 * 5 * 3 = 15 см².
6. Объем шара находится по формуле V = (4/3) * pi * r^3, где r - радиус шара. Мы знаем, что сумма объемов трех шаров равна объему четвертого: (4/3) * pi * r_1^3 + (4/3) * pi * r_2^3 + (4/3) * pi * r_3^3 = (4/3) * pi * r^3. Выносим общий множитель и сокращаем, находим выражение для радиуса: r^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 => r = (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)^(1/3). Таким образом, радиус шара будет равен (3^3 + 4^3 + 5^3)^(1/3) = 64^(1/3) = 4 см.

Дополнительный материал:
1. Задача 1: Найдите объем меньшего сегмента, если диаметр окружности сечения шара составляет 30 см, а его радиус равен 20 см?
2. Задача 2: Найдите диаметр сферы, если известна площадь ее поверхности, равная 2500π кв.см.
3. Задача 3: Каково отношение диаметров двух шаров, если площади их поверхностей относятся как 4:9?
4. Задача 4: Найдите площадь поверхности шара, если его объем равен 288 дм³.
5. Задача 5: Найдите площадь сечения шара радиусом 5, которое пересекается плоскостью на расстоянии 3 от его центра.
6. Задача 6: Каков радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех данных шаров радиусами 3, 4 и 5?

Совет: Чтобы понять геометрию шара лучше, рекомендуется изучить формулы для объема и площади поверхности шара, а также понять, как связаны различные характеристики шара, такие как радиус, диаметр и отношения объема и площади поверхности.

Ещё задача: Найдите объем меньшего сегмента, если диаметр окружности сечения шара составляет 50 см, а его радиус равен 30 см?