1. Какие точки находятся: а) на оси Ох; б) в плоскости Оуz? A (3; 5; 0), B (0; 0; 4), C (0; 5; 0); D (3; -1; -7

Предмет вопроса: Векторы и координаты

Пояснение:
1. а) Точки, находящиеся на оси Ох, имеют нулевые координаты по осям Oy и Oz. В данном случае точки A (3; 5; 0), C (0; 5; 0), E (-1; 0; 0) и K (0; 0; 0) находятся на оси Ох.
б) Точки, находящиеся в плоскости Оуz, имеют нулевую координату по оси Ox. В данном случае точки B (0; 0; 4), C (0; 5; 0), E (-1; 0; 0) и G (0; -1; -9) находятся в плоскости Оуz.

2. Два неколлинеарных вектора могут быть заданы с помощью координат. Вектор a задается как a = (a₁; a₂; a₃), а вектор b задается как b = (b₁; b₂; b₃). Сумма векторов a и b находится путем сложения соответствующих координат: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃).

3. а) Для нахождения длины вектора AB используется формула длины вектора: |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты точек A и B соответственно.
в) Чтобы найти середину отрезка AB, можно использовать среднее арифметическое координат точек A и B: середина = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2; (z₁ + z₂) / 2).

4. а) Скалярное произведение векторов можно найти с помощью формулы: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ - соответствующие координаты векторов a и b.
б) Косинус угла между векторами a и b можно найти с помощью формулы: cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|), где a · b - скалярное произведение векторов, а |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

5. Для нахождения координат вектора x известными точками A, B и C, можно использовать формулу: x = C - A + B, где C, A и B - координаты точек C, A и B соответственно.

Пример:
1. а) Точки на оси Ох: A (3; 5; 0), C (0; 5; 0), E (-1; 0; 0), K (0; 0; 0).
б) Точки в плоскости Оуz: B (0; 0; 4), C (0; 5; 0), E (-1; 0; 0), G (0; -1; -9).

3. а) Длина вектора AB = √((-10 - 3)² + (5 - (-2))² + (4 - 1)²) = √(169 + 49 + 9) = √(227).
в) Середина отрезка AB = ((3 + (-10)) / 2; (-2 + 5) / 2; (1 + 4) / 2) = (-3.5; 1.5; 2.5).

4. а) Скалярное произведение векторов a и b = (-2 * 3) + (1 * (-1)) + (4 * 2) = -6 - 1 + 8 = 1.
б) Косинус угла между векторами a и b = (a · b) / (|a| * |b|) = 1 / (√((-2)² + 1² + 4²) * √(3² + (-1)² + 2²)).

5. Координаты вектора x = C - A + B = {-1; 2; -2} - {3; -2; 1} + {0; -9; 2}.

Совет: Чтобы лучше понять векторы и координаты, рекомендуется изучить понятия пространственных геометрических фигур, осей и плоскостей, а также алгебру и формулы для нахождения длин и углов.

Практика:
1. Найдите координаты точек, находящихся на оси Оу и в плоскости Oxz, с использованием данных точек: A (3; -1; -7), B (0; 0; 4), C (0; 5; 0), D (3; -1; -7), E (-1; 0; 0), F (-1; 1; 1), G (0; -1; -9), K (0; 0; 0).