1. Какие координаты центра и радиус окружности указаны уравнением (х + 5) + (у — 1) = 16? Могут ли точки (-1

Тема: Уравнения окружностей и прямых

Разъяснение: Данное уравнение окружности имеет вид (x + a)^2 + (y + b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. В данном случае, уравнение окружности (x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16, где центр окружности имеет координаты (-5, 1), а радиус равен 4.

Чтобы определить, принадлежат ли точки (-1; 1), (3; 0) и (-5; 1) данной окружности, мы можем подставить их координаты в уравнение окружности и проверить, выполняется ли равенство для каждой точки. Подставив координаты (-1; 1), получаем (-1 + 5)^2 + (1 - 1)^2 = 16, что равно 16, следовательно данная точка лежит на окружности. Аналогично, для точек (3; 0) и (-5; 1) также получаем 16, значит, эти точки также принадлежат окружности.

Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно использовать формулу y - y_1 = m(x - x_1), где (x_1, y_1) - координаты одной из точек, а m - угловой коэффициент прямой. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (-1; 1) и (3; 0). m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (0 - 1) / (3 - (-1)) = -1/4. Подставляя значения в формулу, получаем y - 1 = -1/4(x + 1).

Дополнительный материал:
Задача 1: Определите координаты центра и радиус окружности по уравнению (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25.
Задача 2: Проверьте, принадлежит ли точка (4; 7) окружности с уравнением (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 36.
Задача 3: Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (2; -3) и (-1; 5).

Совет: Для лучшего понимания уравнений окружностей и прямых, рекомендуется изучить основные понятия алгебры, такие как координатная плоскость, системы координат, угловой коэффициент и формулы расстояний и средних значений.

Задача для проверки: Найдите координаты центра и радиус окружности, если уравнение окружности задано как (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 36. Проверьте, принадлежит ли точка (3; -1) данной окружности. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки (-2; 0) и (4; 2).

Уравнение окружности

Инструкция: Уравнение окружности имеет стандартную форму (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

В данном уравнении (х + 5) + (у — 1) = 16, мы видим, что у нас нет квадратичных членов от переменных x и y. Поэтому мы можем сделать вывод, что это уравнение представляет собой окружность.

Сравнивая данное уравнение с уравнением окружности в стандартной форме, мы можем увидеть, что x + 5 равно (x - (-5)), а у - 1 равно (y - 1). Таким образом, центр окружности имеет координаты (-5, 1).

Чтобы найти радиус окружности, необходимо вычислить квадратный корень из правой стороны уравнения. В данном случае, r^2 равен 16, поэтому радиус r равен 4.

Теперь рассмотрим точки (-1, 1), (3, 0) и (-5, 1) и проверим, могут ли они принадлежать данной окружности. Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение окружности. Если получится верное уравнение, то точка принадлежит окружности.

(-1 + 5)^2 + (1 - 1)^2 = 16, верно.
(3 + 5)^2 + (0 - 1)^2 = 16, верно.
(-5 + 5)^2 + (1 - 1)^2 = 16, верно.

Таким образом, все три точки принадлежат данной окружности.

Совет: Научитесь распознавать уравнение окружности в стандартной форме, чтобы более легко решать задачи, связанные с описанием окружности. Не забывайте проверять точки на принадлежность с помощью подстановки.

Дополнительное задание: Найдите уравнение окружности с центром в точке (2, -3) и радиусом 5. Примените уравнение окружности для проверки, принадлежит ли точка (6, -3) данной окружности.