1. Изучите пересечения графика функции y = 3x – x3 с касательной, проходящей через точку P(0, 16). 2. Определите

Пересечения графика функции с касательной:
Для начала найдем уравнение касательной, проходящей через точку P(0, 16). Чтобы найти уравнение касательной, нам понадобятся знания о производной функции. Найдем производную функции y = 3x – x^3 (дифференцируем по правилу степенной функции) и подставим значения x и y точки P(0, 16) в уравнение, чтобы найти значение производной в этой точке.
y" = 3 - 3x^2
y"(0) = 3 - 3(0)^2 = 3

Теперь, используя найденное значение производной, мы можем написать уравнение касательной в общей форме:
y - y1 = m(x - x1),
где m - значение производной (в данном случае, m = 3), а (x1, y1) - координаты точки P(0, 16).

y - 16 = 3(x - 0)
y - 16 = 3x

Таким образом, уравнение касательной, проходящей через точку P(0, 16), имеет вид y = 3x - 16.

Минимальное расстояние между параболой и прямой:
Для определения минимального расстояния между параболой y = x^2 + 6x + 10 и прямой, мы должны найти точку пересечения этих двух кривых. Расстояние между двумя кривыми равно расстоянию между их точками пересечения.

Для начала, проведем параболу и прямую на графике и найдем точки пересечения. Подставим выражение для y из параболы в уравнение прямой и решим полученное квадратное уравнение.

x^2 + 6x + 10 = 3x + b
x^2 + 3x + 10 - b = 0

Уравнение имеет два корня x1 и x2. Подставим эти значения обратно в прямую, чтобы получить соответствующие y-координаты.
y1 = 3x1 + b
y2 = 3x2 + b

Найдем расстояние между двумя точками на графике с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Таким образом, минимальное расстояние между параболой и прямой будет равно значению d, найденному с помощью вышеуказанной формулы.

Совет: Для более легкого решения математических задач рекомендуется изучение теории, связанной с соответствующими типами задач. Понимание связи между уравнениями, геометрическими конструкциями и графиками функций поможет вам решать задачи более эффективно.

Задание для закрепления: Найдите минимальное расстояние между параболой y = x^2 - 4x + 5 и прямой y = 2x - 1.