1) Исследуйте функцию на монотонность и наличие экстремумов. 2) Найдите максимальное и минимальное значения функции

Суть вопроса: Исследование функции на монотонность и экстремумы

Инструкция: Чтобы исследовать функцию на монотонность и наличие экстремумов, мы должны проанализировать ее производную. Если производная положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Чтобы найти экстремумы функции, нужно исследовать ее производную на наличие изменения знака - от положительного к отрицательному или наоборот.

Дополнительный материал: Пусть дана функция f(x) = x^2 - 3x + 2. Исследуем ее на монотонность и наличие экстремумов. Сначала найдем производную функции: f"(x) = 2x - 3.

1) Найдем интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Поставим неравенство 2x - 3 > 0 и решим его: 2x > 3, x > 3/2. Таким образом, производная положительна на интервале (3/2, +беск).

2) Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 2x - 3 = 0, x = 3/2. Это потенциальная точка экстремума.

3) Исследуем знак производной в окрестности точки x = 3/2. Для этого выберем точку между (0, 3/2), например, x = 1. Подставим в производную: f"(1) = 2*1 - 3 = -1. Производная отрицательна, следовательно, функция монотонно убывает на интервале (-беск, 3/2).

Таким образом, функция f(x) = x^2 - 3x + 2 монотонно возрастает на интервале (3/2, +беск), монотонно убывает на интервале (-беск, 3/2), а точка x = 3/2 является локальным минимумом функции.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию монотонности и экстремумов, рекомендуется изучать материал по дифференциальному исчислению и производным функций. Практикуйтесь в исследовании различных функций на монотонность и наличие экстремумов, чтобы лучше понять и запомнить процесс.

Дополнительное упражнение: Исследуйте функцию g(x) = 3x^3 - 6x^2 - 15x на монотонность и наличие экстремумов. Найдите интервалы, на которых функция монотонно возрастает или убывает, а также точки экстремума.