1. How can we rewrite the equation 10sin2 x - 11cos x - 2 = 0? 2. How can we rephrase the equation 4sin?x + 13sin

1. Решение уравнения 10sin^2 x - 11cos x - 2 = 0:

Давайте рассмотрим данное уравнение шаг за шагом. Вначале мы можем заменить sin^2 x на (1 - cos^2 x), используя тождество синуса, что даст нам:

10(1 - cos^2 x) - 11cos x - 2 = 0

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

10 - 10cos^2 x - 11cos x - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ac^2 + bc + c = 0:

-10cos^2 x - 11cos x + 8 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или с использованием квадратного корня. Давайте воспользуемся факторизацией:

(-10cos x + 4)(cos x + 2) = 0

Теперь мы получили два возможных значения cos x:

1) -10cos x + 4 = 0
2) cos x + 2 = 0

1) -10cos x + 4 = 0
-10cos x = -4
cos x = 0.4

2) cos x + 2 = 0
cos x = -2 (это невозможно, так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1)

Таким образом, уравнение имеет единственное решение cos x = 0.4.

2. Перефразировка уравнения 4sin(x) + 13sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0:

Начнем с уравнения:

4sin(x) + 13sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0

Мы можем видеть, что все слагаемые содержат sin(x), поэтому давайте вынесем это общий множитель:

sin(x)(4 + 13cos(x)) + 3cos^2(x) = 0

Теперь давайте заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x), используя тождество синуса:

sin(x)(4 + 13cos(x)) + 3(1 - sin^2(x)) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4sin(x) + 13sin(x)cos(x) + 3 - 3sin^2(x) = 0

Далее приведем подобные слагаемые и получим уравнение:

-3sin^2(x) + 17sin(x)cos(x) + 4sin(x) + 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня.

3. Другой способ выражения уравнения 6tg(x) - 10ctg(x) + 7 = 0:

Данное уравнение содержит функции тангенса и котангенса. Мы можем заменить котангенс на обратную функцию тангенса, чтобы получить:

6tg(x) - 10(1/tg(x)) + 7 = 0

Упростим уравнение, перемножив каждое слагаемое на tg(x), чтобы избавиться от дробей:

6(tg^2(x)) - 10 + 7(tg x) = 0

Теперь у нас получилось квадратное уравнение, где tg^2(x) - это переменная t:

6t^2 - 7t - 10 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратный корень.

4. Можем ли мы переформулировать уравнение 14cos^2(x) + 5sin^2(x) = 24?

Давайте решим данное уравнение:

14cos^2(x) + 5sin^2(x) = 24

Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тождество синуса:

14cos^2(x) + 5(1 - cos^2(x)) = 24

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

14cos^2(x) + 5 - 5cos^2(x) = 24

Объединим слагаемые с косинусами:

9cos^2(x) + 5 = 24

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

9cos^2(x) = 19

Мы не можем переформулировать данное уравнение в другой форме, так как оно представляет собой простое квадратное уравнение.

5. Как можно изменить уравнение 4sin(2x) = 4 - cos(x)?

Для упрощения данного уравнения, вспомним тригонометрические формулы. Одна из таких формул, которая может нам помочь, - это формула двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Перепишем уравнение с использованием этой формулы:

4(2sin(x)cos(x)) = 4 - cos(x)

Упростим:

8sin(x)cos(x) = 4 - cos(x)

Теперь давайте объединим слагаемые с косинусами и перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

8sin(x)cos(x) + cos(x) - 4 = 0

Общим множителем в данном уравнении является cos(x), поэтому вынесем его за скобки:

cos(x)(8sin(x) + 1) - 4 = 0

Теперь у нас есть два возможных значения cos(x):

1) cos(x) = 0
2) 8sin(x) + 1 = 4

1) cos(x) = 0
x = π/2 + kπ

2) 8sin(x) + 1 = 4
8sin(x) = 3
sin(x) = 3/8
x = arcsin(3/8) + kπ

где k - целое число.

Таким образом, уравнение имеет два набора решений: x = π/2 + kπ и x = arcsin(3/8) + kπ, где k - целое число.