1) How can the expression (x-3)/(x+5) - 80/(x^2 - 25) be rewritten as 1/9? 2) How can the equation (x-4)/(x-2

1) Решение:
Данное выражение может быть переписано как (x-3)/(x+5) - 80/(x^2 - 25) = 1/9. Чтобы привести его к этой форме, сначала выразим общий знаменатель второго слагаемого как произведение сопряженного выражения, т.е. (x+5)(x-5). Теперь получим новое выражение:
(x-3)/(x+5) - 80/((x+5)(x-5)).
Затем мы можем объединить две дроби, чтобы получить общий знаменатель:
((x-3)(x-5) - 80)/(x+5)(x-5).
Далее, упростим числитель:
(x^2 - 8x + 15 - 80) / (x+5)(x-5) = 1/9.
Совершим последние шаги по решению уравнения:
x^2 - 8x + 15 - 80 = (x+5)(x-5)/9.
x^2 - 8x - 65 = (x^2 - 25)/9.
9x^2 - 72x - 585 = x^2 - 25.
8x^2 - 72x - 560 = 0.
Полученное уравнение можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта.

2) Решение:
Данное уравнение: (x-4)/(x-2) - 8/(4-x^2) + 8/(x+2) = 0 может быть переупорядочено следующим образом:
(x-4)/(x-2) + 8/(x+2) = 8/(x^2-4).

Сначала найдем общий знаменатель, который будет равен (x-2)(x+2). Затем сложим две дроби:
(x-4)/(x-2) + 8/(x+2) = (x-4)(x+2)/(x-2)(x+2) + 8/(x+2).

Далее приведем обе дроби к общему знаменателю:
[(x-4)(x+2) + 8(x-2)] / (x-2)(x+2) = 8/(x^2-4).

Раскроем скобки и приведем числитель:
(x^2 - 2x - 8 + 8x - 16) / (x-2)(x+2) = 8/(x^2-4).

(x^2 + 6x - 24) / (x-2)(x+2) = 8/(x^2-4).

(x^2 + 6x - 24 - 8) / (x-2)(x+2) = 0.

(x^2 + 6x - 32) / (x-2)(x+2) = 0.

Теперь у нас есть переупорядоченное уравнение.

3) Альтернативная форма уравнения:
Исходное уравнение: (x-4)/(x+3) - (x+4)/(x-3) = 42/(x^2-9).
Альтернативная форма уравнения:
((x-4)(x-3) - (x+4)(x+3))/(x+3)(x-3) = 42/((x+3)(x-3)).
(x^2 -7x + 12 - (x^2 +7x + 12))/(x+3)(x-3) = 42/((x+3)(x-3)).
(-14x)/(x+3)(x-3) = 42/((x+3)(x-3)).
-14x = 42.
x = -3.

4) Изменение уравнения:
Исходное уравнение: 70/((x+3)(x-7)) = (x-4)/(x+3) - (x-14)/(x+7).
Для изменения данного уравнения можно сначала очистить знаменатель от множителя 70, умножив обе части уравнения на ((x+3)(x-7)). Таким образом, получим:
70 = (x-4)(x+7) - (x-14)(x-7).
70 = x^2 + 7x - 4x - 28 - (x^2 - 7x - 14x + 98).
70 = x^2 + 3x - 28 - x^2 + 7x + 14x - 98.
70 = 24x - 126.
24x = 196.
x = 196/24.
x = 49/6.

Таким образом, уравнение изменено и получено значение x.