1) Если увеличить радиус круга втрое, то площадь круга увеличится… 2) Если уменьшить длину окружности восьмикратно

Суть вопроса: Связь между радиусом, диаметром, площадью круга и длиной его окружности

Пояснение:
1) Если увеличить радиус круга втрое, то площадь круга увеличится девять раз. Это связано с тем, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Таким образом, если умножить радиус втрое, то его квадрат увеличится в 3^2 = 9 раз, а значит и площадь круга увеличится в 9 раз.

2) Если уменьшить длину окружности восьмикратно, то диаметр окружности уменьшится в два раза. Длина окружности пропорциональна диаметру по формуле L = πd. Если уменьшить длину окружности восьмикратно, то получим L/8 = πd. Разделим обе части уравнения на π, тогда d = L/8π. Диаметр окружности равен длине окружности, деленной на 8π. Значит, если длина окружности уменьшается в 8 раз, то диаметр уменьшается в 8/8 = 1 раз, то есть остается неизменным.

3) Если уменьшить площадь круга вчетверо, то радиус круга уменьшится в два раза. Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса по формуле S = πr^2. Если уменьшить площадь вчетверо, то получим S/4 = πr^2. Разделим обе части уравнения на π, тогда r^2 = S/4π. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, тогда r = √(S/4π). Таким образом, радиус уменьшится в √(1/4) = 1/2 раза, то есть в два раза.

4) Если уменьшить длину окружности вшестеро, то площадь соответствующего круга уменьшится в 36 раз. Площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра по формуле S = π(d^2)/4. Если уменьшить длину окружности вшестеро, то получим L/6 = πd. Разделим обе части уравнения на π и возведем в квадрат, тогда (L/6π)^2 = d^2. Заменим d в формуле площади, получим S = π(d^2)/4 = π((L/6π)^2)/4 = (L^2)/(36π). Таким образом, площадь уменьшится в (L^2)/(36π) раз, то есть в 36 раз.

5) Если увеличить площадь круга вдевять раз, то радиус круга увеличится в три раза. Из предыдущего рассуждения (пункт 3) мы знаем, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Если увеличить площадь вдевять раз, то радиус увеличится в √9 = 3 раза.

6) Если увеличить площадь круга всто четыре раза, то длина соответствующей окружности увеличится вдвое. Длина окружности пропорциональна диаметру по формуле L = πd. Из предыдущих рассуждений (пункт 4) мы знаем, что площадь пропорциональна квадрату диаметра. Поэтому, если площадь увеличивается всто четыре раза, то диаметр увеличивается в √100 = 10 раз. Заменим d в формуле длины, получим L = π(d^2)/4 = π((10r)^2)/4 = 100πr/4 = 25πr/2. Таким образом, длина соответствующей окружности увеличится в 25πr/2 - πr = (25π - 2π)r/2 = 23πr/2 = 23/2 = 11.5 раза.

Совет:
Чтобы лучше понять взаимосвязь между радиусом, диаметром, площадью круга и длиной его окружности, рекомендуется представить себе реальные примеры и совершать в вымышленных экспериментах изменения параметров круга. Например, можно взять кусок бумаги и нарисовать различные окружности на нем, изменяя их радиус, диаметр, площадь и длину. Это поможет визуализировать связь между этими параметрами и лучше запомнить формулы, а также логику изменения размеров окружности при изменении соответствующих параметров.

Задание для закрепления:
Пусть у нас есть круг с радиусом r = 4. Найдите:
а) новую площадь круга, если его радиус увеличить вдвое;
в) новый диаметр окружности, если ее длину уменьшить вчетверо;
с) новый радиус окружности, если ее площадь увеличить всто четыре раза.