Отношения в математике
1. Докажите, что отношение R, изображенное на рисунке 102, обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности
1. Докажите, что отношение R, изображенное на рисунке 102, обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
2. Докажите, что отношение T, изображенное на рисунке 103, является симметричным и транзитивным.
3. Сформулируйте условия, при которых отношение не является рефлексивным и докажите, что отношение T (из упражнения 2) не обладает свойством рефлексивности.
Рисунок 102.
2. Докажите, что отношение T, изображенное на рисунке 103, является симметричным и транзитивным.
3. Сформулируйте условия, при которых отношение не является рефлексивным и докажите, что отношение T (из упражнения 2) не обладает свойством рефлексивности.
Рисунок 102.
11.12.2023 03:57
Написать свой ответ:
Объяснение: Отношения - это математическое понятие, которое определяет связь или соотношение между элементами двух множеств. В данной задаче речь идет о свойствах отношений: рефлексивности, антисимметричности, симметричности и транзитивности.
1. Для начала, рассмотрим отношение R на рисунке 102. Для того, чтобы доказать, что оно обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, нужно проверить выполнение определенных условий.
- Рефлексивность: Отношение R является рефлексивным, если каждый элемент множества A (зеленый круг на рисунке) связан сам с собой. В данном случае, если каждый элемент внутри зеленого круга имеет стрелку, ведущую на себя, тогда отношение R рефлексивно.
- Антисимметричность: Отношение R является антисимметричным, если для любых двух различных элементов a и b из множества A, если a связан с b и b связан с a, то a = b. В данном случае, если отсутствуют стрелки, которые указывают в разные стороны внутри зеленого круга, то отношение R антисимметрично.
- Транзитивность: Отношение R является транзитивным, если для любых трех элементов a, b и c из множества A, если из a следует b и из b следует c, то из a следует c. В данном случае, если имеются стрелки, которые соединяют элементы внутри зеленого круга в правильном порядке, то отношение R транзитивно.
2. Затем, рассмотрим отношение T на рисунке 103 и докажем его свойства.
- Симметричность: Отношение T является симметричным, если для любых двух элементов a и b из множества B (красный круг на рисунке), если a связан с b, то b связан с a. В данном случае, если имеются стрелки, которые указывают в обе стороны между элементами внутри красного круга, то отношение T симметрично.
- Транзитивность: Отношение T является транзитивным, если для любых трех элементов a, b и c из множества B, если из a следует b и из b следует c, то из a следует c. В данном случае, если имеются стрелки, которые соединяют элементы внутри красного круга в правильном порядке, то отношение T транзитивно.
3. Для определения условий, при которых отношение не является рефлексивным, нужно проверить, есть ли стрелки, указывающие на каждый элемент внутри красного круга (множество B). Если хотя бы один элемент не имеет стрелки, указывающей на него самого, то отношение не является рефлексивным. В случае отношения T, показанного на рисунке 103, отсутствует стрелка, указывающая на элемент "b", следовательно, оно не рефлексивно.
Совет: Для лучшего понимания свойств отношений, рекомендуется проводить визуальный анализ рисунков и аккуратно анализировать каждое свойство по очереди, следуя определенным условиям.
Упражнение: Представьте отношение на рисунке 105. Определите, является ли оно симметричным и транзитивным. Если не является, объясните, какое свойство нарушается и приведите соответствующий контрпример.