Замеры температуры были проведены во время подъема на воздушном шаре с целью исследования зависимости температуры

Тема урока: Метод наименьших квадратов для линейной регрессии

Инструкция:
Метод наименьших квадратов - это статистический метод, который позволяет определить наилучшую прямую линию, наиболее близкую к исходным данным. В данном случае мы будем использовать его для нахождения коэффициентов а и b в уравнении ах + b, которое описывает зависимость температуры от высоты над уровнем моря.

Для применения метода наименьших квадратов к этой задаче, мы должны вычислить суммы x, y, xy и x^2 для всех пар данных. Затем мы можем найти коэффициенты а и b, используя формулы:
a = (Σ(xy) - (Σx)(Σy) / n*(Σ(x^2)) - (Σx)^2 )
b = (Σ(y) - a*(Σ(x))/n

Где Σ обозначает сумму всех значений, n - количество измерений.

Например:
Высота (км) | Температура (град. C)
1,2 | 15
1,8 | 11
2,2 | 8
2,5 | 6
3,0 | 3
3,3 | 1
3,8 | -2

Мы начнем вычисления, подставляя значения в формулы:
n = 7 (общее количество измерений)
Σx = 1.2 + 1.8 + 2.2 + 2.5 + 3.0 + 3.3 + 3.8 = 17.8
Σy = 15 + 11 + 8 + 6 + 3 + 1 - 2 = 42
Σxy = (1.2 * 15) + (1.8 * 11) + (2.2 * 8) + (2.5 * 6) + (3.0 * 3) + (3.3 * 1) + (3.8 * -2) = 97.77
Σ(x^2) = (1.2^2) + (1.8^2) + (2.2^2) + (2.5^2) + (3.0^2) + (3.3^2) + (3.8^2) = 38.54

Теперь мы можем найти коэффициенты:
a = (97.77 - (17.8 * 42) / (7 * 38.54) - (17.8^2) ) = -4.593
b = (42 - (-4.593 * 17.8)) / 7 = 20.332

Таким образом, уравнение, описывающее зависимость температуры от высоты, будет иметь вид: температура = -4.593 * высота + 20.332.

Совет: Для более легкого понимания метода наименьших квадратов можно представить его как поиск наилучшей прямой, которая проходит как можно ближе к точкам на графике данных. Коэффициент «а» представляет наклон этой прямой, а коэффициент «b» - ее смещение. Таким образом, «а» и «b» определяют, каким образом температура меняется с изменением высоты над уровнем моря.

Дополнительное задание:
По данным измерений высоты и температуры найдите коэффициенты а и b с использованием метода наименьших квадратов и запишите уравнение, описывающее зависимость температуры от высоты. Данные измерений следующие:
Высота (км): 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5
Температура (град. C): 10, 8, 5, 3, 0