Согласно древней легенде, мудрец, изобретатель шахмат, запросил у персидского шаха следующее вознаграждение

Предмет вопроса: Геометрическая прогрессия и сумма геометрической прогрессии

Инструкция: В данной легенде, количество зерен на каждой клетке шахматной доски образует геометрическую прогрессию. Каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на 2.

Чтобы решить задачу, мы можем использовать формулы геометрической прогрессии. Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: an = a1 * q^(n-1), где a1 - первый член прогрессии, q - множитель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Решение:
Первый член геометрической прогрессии - 1 зерно, так как на первой клетке лежит 1 зерно. Множитель прогрессии - 2, так как количество зерен удваивается на каждой следующей клетке.

Таким образом, чтобы найти количество зерен на последней клетке, нам нужно найти 64-й член геометрической прогрессии.

Используем формулу: a64 = 1 * 2^(64-1) = 2^63.

Количество зерен на последней клетке будет равно 2^63.

Чтобы найти на какой клетке будет лежать 258 зерен, мы можем использовать обратную формулу геометрической прогрессии.

Сначала найдем максимальное количество зерен на клетках, проверяя каждую клетку в порядке возрастания номеров, пока не найдем клетку, на которой будет лежать больше 258 зерен.

Проверим: на 1-й клетке 2^0 = 1 зерно, на 2-й клетке 2^1 = 2 зерна, на 3-й клетке 2^2 = 4 зерна, на 4-й клетке 2^3 = 8 зерен...

При проверке 9-й клетки мы обнаружим, что на ней будет лежать 256 зерен. Но для нас это значение не подходит, так как оно меньше 258.

Теперь проведем обратное вычисление для 8-й клетки: 2^7 = 128. Затем для 9-й клетки: 2^8 = 256.

Из этих вычислений видно, что 258 зерен будут находиться на 9-й клетке.

Чтобы узнать, сколько зерен всего получит мудрец, мы можем вычислить сумму первых 64 членов геометрической прогрессии. Для этого существует формула для суммы геометрической прогрессии:

Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Таким образом, сумма всех зерен, которые получит мудрец, будет равна S64 = 1 * (1 - 2^64) / (1 - 2).

Важно учесть, что каждые 15 г зерен эквивалентны 1 г пшеницы.

Пример:
1. На последней клетке будет находиться 2^63 зерна.
2. 258 зерен будут находиться на 9-й клетке.
3. Суммарное количество зерен, которые получит мудрец, будет равно (1 * (1 - 2^64) / (1 - 2)) * 15.

Совет: Чтобы лучше понять геометрическую прогрессию, вы можете нарисовать схему шахматной доски и заполнить каждую клетку зернами в соответствии с условием задачи. Это поможет визуализировать прогрессию и легче решать задачу.

Практика: Какое количество зерен будет находиться на клетке с номером 15? Какой будет суммарное количество зерен за 30 шагов? Сколько пшеницы это составит в граммах?