Сколько существует 10-значных чисел, составленных из цифр 8 и 9, в которых нет соседних девяток?

Тема занятия: Количество 10-значных чисел без соседних девяток

Пояснение: Для решения этой задачи нам необходимо определить количество 10-значных чисел, которые можно составить только из цифр 8 и 9, так чтобы между двумя девятками всегда была цифра 8.

Мы можем рассмотреть данную задачу с помощью метода перебора всех возможных комбинаций чисел и фильтрацией только тех комбинаций, которые соответствуют условию задачи.

Последовательность шагов по решению задачи:

1. Задаёмся вопросом: "Сколько девяток может быть в числе?" Ответ: от 0 до 5. Если попробуем добавить больше девяток, то будет нарушаться условие задачи.
2. Рассматриваем случай, когда в числе есть 0 девяток. В данном случае, нам нужно определить количество допустимых комбинаций из 10 цифр 8. Можно воспользоваться формулой сочетаний без повторений: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где n - общее количество элементов в множестве, k - количество элементов в каждой комбинации. В данном случае n = 10 и k = 10, потому что у нас 10 цифр и мы все их используем. Значит C(10, 10) = 1.
3. Рассматриваем случай, когда в числе есть 1 девятка. В данном случае, нам нужно определить количество допустимых комбинаций из 8 цифр 8 и 1 цифры 9. Можно воспользоваться формулой сочетаний без повторений: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!). В данном случае n = 9 и k = 1, потому что у нас 9 цифр 8 и 1 цифра 9. Значит C(9, 1) = 9.
4. Продолжаем рассматривать случаи, когда в числе есть больше девяток. Повторяем подсчет комбинаций для каждого количества девяток по отдельности.
5. Суммируем результаты для всех случаев и получаем итоговое количество допустимых комбинаций.

Например:

Посчитаем количество 10-значных чисел, составленных из цифр 8 и 9, в которых нет соседних девяток.

Ответ:

C(10, 10) + C(9, 1) + C(8, 2) + C(7, 3) + C(6, 4) + C(5, 5) = 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89

Таким образом, существует 89 10-значных чисел, составленных из цифр 8 и 9, в которых нет соседних девяток.

Совет: Для понимания формулы комбинаторики исследуйте ее варианты применения на простых примерах. Помните, что факториал (n!) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.