Напишите программу на Python, которая автоматически находит и уточняет корни функции на заданных интервалах. Введите

Тема: Решение уравнений методом деления отрезка пополам

Разъяснение:
Метод деления отрезка пополам является численным методом для нахождения корней уравнений на заданных интервалах. Этот метод основан на принципе прямолинейной интерполяции и рекурсивно разделяет заданный интервал пополам до достижения требуемой точности.

Для решения этой задачи, необходимо написать программу на языке Python, которая будет принимать функцию, интервал и точность входными параметрами. Затем, программа будет последовательно делить интервал пополам до достижения заданной точности. Число шагов будет отслеживаться для определения количества шагов, необходимых для уточнения корня.

Демонстрация:
Входные параметры:
Функция: f(x) = x^2 - 2
Интервал: [-2,-1.5]

Вывод:
Решение: -1.7201
Количество шагов: 8

Входные параметры:
Функция: f(x) = x^2 - 2
Интервал: [1.5,2]

Вывод:
Решение: 1.7201
Количество шагов: 8

Совет:

- Перед написанием программы, убедитесь, что вы полностью понимаете принцип работы метода деления отрезка пополам.
- Ознакомьтесь с основными концепциями программирования на языке Python, такими как функции и циклы.
- Используйте готовые математические функции в Python, такие как возведение в степень (``) и проверку знака (`math.sign()`), для реализации алгоритма метода деления отрезка пополам.

Упражнение**:
Напишите программу на Python, используя метод деления отрезка пополам, для нахождения корня функции `f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4` на интервале [1,3]. Определите количество шагов, необходимых для уточнения корня, с точностью до 0.001.

Название: Поиск и уточнение корней функции

Пояснение: Для решения данной задачи мы используем метод деления отрезка пополам, который позволяет найти приближенное значение корня функции на заданном интервале. Алгоритм состоит в следующем:

1. Вводим функцию в программу. В данном примере функция f(x) = x^2 - 2.
2. Задаем начальный интервал, в котором будем искать корень. В данном примере интервал [-2; -1.5].
3. Переходим к шагам уточнения корня:
1. Вычисляем значение функции на концах интервала (f(a) и f(b)).
2. Вычисляем значение функции в середине интервала (f(c)), где c = (a + b) / 2.
3. Если значение f(a) и f(b) имеют разные знаки и не равны нулю, то корень функции находится на данном интервале. Обновляем границы интервала: если f(a) и f(c) имеют разные знаки, то новый интервал будет [a, c], иначе новый интервал будет [с, b].
4. Повторяем шаги 3.1-3.3, пока интервал не станет достаточно малым или не будет найдено требуемое количество шагов.
4. Выводим найденное приближенное значение корня функции и количество шагов.

Например:
Ввод: Функция: f(x) = x^2 - 2
Интервал [-2;-1.5]

Решение: -1.7201
Количество шагов: 8

Совет: Для понимания данной программы полезно знать, что функция f(x) = x^2 - 2 является параболой с вершиной в точке (0, -2). Алгоритм деления отрезка пополам позволяет находить корни функции на заданных интервалах, в основе которого лежит идея поиска точки пересечения графика функции с осью OX.

Дополнительное упражнение:
Напишите программу на Python, которая автоматически находит и уточняет корни функции на заданных интервалах. Введите функцию в программу и запустите её. После нахождения очередного интервала, программа выводит его на экран и, используя метод деления отрезка пополам, уточняет решение, определяя при этом количество шагов.