Какое собственное значение соответствует вектору x, являющемуся собственным вектором для линейного оператора

Собственные значения и собственные векторы вектора имеют большое значение в линейной алгебре и могут помочь нам понять, как определенный линейный оператор воздействует на векторы. Для данной задачи, где нам дана матрица А и вектор x, который является собственным вектором для линейного оператора F, мы должны найти его собственное значение.

Чтобы найти собственное значение, мы должны решить уравнение (А - λI)x = 0, где А - данная матрица, λ - собственное значение, I - единичная матрица и x - собственный вектор.

Подставим данные в уравнение: (А - λI)x = 0
⇒ [[1, 2, -2], [1, 0, 3], [1, 3, 0]] - λ [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] [[-1], [-1], [-1]] = 0

Далее, решим систему линейных уравнений, чтобы найти собственное значение λ. Подставим данные и решим систему:

[[0, 2, -2], [1, -λ, 3], [1, 3, -λ]] [[-1], [-1], [-1]] = 0

Решив это уравнение, мы найдем собственное значение λ. Подставим этот λ обратно в уравнение (А - λI)x = 0, чтобы найти собственный вектор x.

Пример использования:
Задача: Найдите собственное значение и собственный вектор для линейного оператора F с матрицей А = 1 2 -2 1 0 3 1 3 0 в базисе е1, e2, e3, если ​х = -e1 - e3.
Решение:
Мы найдем собственное значение λ и собственный вектор x, подставив данные в уравнение (А - λI)x = 0.