Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого окрашены в один цвет

Треугольник с вершинами в данных точках одного цвета:

Описание:
Для доказательства того, что существует треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого окрашены в один цвет, мы можем использовать теорию комбинаторики и принцип ящикового принципа (принцип Дирихле).

Предположим, у нас есть n точек в плоскости. Между двумя точками из этих n есть ребро соответствующего цвета, если они соединены в треугольнике этого цвета. Чтобы найти треугольник, все стороны которого окрашены в один цвет, рассмотрим количества возможных ребер каждого цвета.

Если все цвета имеют не менее ⌈n/3⌉ ребер, то мы безопасно можем выбрать по одной точке из каждого цвета, образуя треугольник. В этом случае все его стороны окажутся одного цвета. Это также следует из принципа Дирихле.

Если же существует цвет, у которого количество ребер меньше ⌈n/3⌉, то суммарное количество ребер всех остальных цветов превышает 2/3 от общего числа ребер, что означает, что как минимум два других цвета должны иметь по ⌈n/3⌉ ребер. Мы можем выбрать по одной точке из каждого из этих цветов и третью точку из цвета, у которого недостаточно ребер. Это образует треугольник, все стороны которого окрашены в один цвет.

Таким образом, мы доказали, что всегда существует треугольник с вершинами в данных точках одного цвета.

Доп. материал:
У нас есть 6 точек в плоскости и каждая пара точек соединена одним из трех цветов (красным, зеленым или синим). Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого окрашены в один цвет.

Совет:
Для лучшего понимания ответа рекомендуется изучить теорию комбинаторики, принцип ящикового принципа и принцип Дирихле.

Задача для проверки:
У вас есть 8 точек в плоскости и каждая пара точек соединена одним из четырех цветов (красным, зеленым, синим или желтым). Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого окрашены в один цвет.