Рассчитайте процент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки. Изображен один плотнейший слой

Содержание вопроса: Процент заполненности плотнейшего слоя шаровой упаковки

Пояснение:
Пусть каждый шар в плотнейшем слое имеет радиус r. В плотнейшей упаковке каждый шар касается шести других шаров. Другими словами, в каждом направлении (вверх, вниз, влево, вправо, вперед, назад) есть шар, касающийся данного шара. Диаметр шара равен двум радиусам, следовательно, расстояние между центрами соседних шаров составляет 2r.

Таким образом, в плотнейшем слое шаровой упаковки объем одной элементарной ячейки равен V = (2r)³.

Объем всех шаров, находящихся в этой ячейке, будет равен V_шаров = объем одного шара * количество шаров в ячейке = (4/3)πr³ * количество шаров в ячейке.

Процент заполненности плотнейшего слоя определяется как отношение объема всех шаров к объему ячейки:

Процент заполненности = (V_шаров / V) * 100.

Демонстрация:
Предположим, что радиус каждого шара в плотнейшем слое равен 2 см, а в каждой элементарной ячейке содержится 12 шаров. Тогда объем одной элементарной ячейки будет V = (2*2)³ = 8*8*8 = 512 см³, а объем всех шаров в ячейке будет V_шаров = (4/3)π(2³) * 12 = (4/3) * π * 8 * 12 = 384π см³.

Процент заполненности плотнейшего слоя равен (384π / 512) * 100 ≈ 75.4%.

Совет:
Чтобы лучше понять процесс расчета процента заполненности плотнейшего слоя шаровой упаковки, можно сравнить его с пышным блюдом, таким как оладьи. Когда блюдо полностью заполнено, процент заполненности равен 100%. Если в блюде оказывается меньше оладий, процент заполненности будет меньше. Точно так же, чем больше шаров в плотнейшем слое шаровой упаковки, тем выше процент заполненности.

Упражнение:
В плотнейшем слое шаровой упаковки каждый шар имеет радиус 5 см. Найдите процент заполненности этого слоя, если в каждой элементарной ячейке содержится 8 шаров. Ответ представьте в процентах с округлением до целых чисел.