Знайдіть площу бокової поверхні правильної трикутної піраміди з плоским кутом при вершині 30° та бічним ребром довжиною

Пояснение: Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине 30° и боковым ребром длиной 10 см, а также найти полную поверхность пирамиды.

Для начала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим неправильный треугольник, у которого основа – треугольник со стороной 10 см, угол между основанием и боковыми ребрами – 30°, а апофема – высота пирамиды. В таком треугольнике есть два равных угла при основании, так как плоский угол при вершине пирамиды составляет 30°. Поэтому мы можем разделить треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых будет иметь угол 30° при основании и угол β между боковым ребром и высотой. По королевской теореме синусов мы можем записать следующее уравнение:

sin 30° / b = sin β / 10.

Теперь найдем значение sin β, подставив данные из условия задачи:

sin β = sin(180° - 2 * 30°) = sin 120° = √3 / 2.

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

sin 30° / b = (√3 / 2) / 10.

Отсюда мы можем найти значение b:

b = (10 * sin 30°) / (√3 / 2) = 10 * (1/2) / (√3 / 2) = 5 / (√3 / 2) = 5 * (2 / √3) = 10 / √3 = (10 * √3) / 3.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Пусть S будет площадью боковой поверхности, а l - длиной бокового ребра, тогда:

S = (l * b) / 2 = (10 * (10 * √3) / 3) / 2 = (100 * √3) / 6 = (50 * √3) / 3 ≈ 28.867 см².

Для нахождения полной поверхности пирамиды нам необходимо добавить площадь основания. Для правильной треугольной пирамиды площадь основания равна (корень из 3 / 4) * сторона². Поскольку у нас треугольник равносторонний и длина стороны равна 10 см, его площадь составляет:

S_осн = (√3 / 4) * (10)² = (√3 / 4) * 100 = 25 * √3 см².

Таким образом, полная поверхность пирамиды равна:

S_полн = S_бок + S_осн = (50 * √3) / 3 + 25 * √3 = (100 * √3) / 3 ≈ 57.735 см².

Совет: Для более легкого понимания этой задачи можно использовать рисунки, которые помогут визуализировать геометрические фигуры и представить себе соответствующие углы. Помимо этого, важно помнить основные тригонометрические соотношения, такие как синусы и косинусы углов, чтобы использовать их в решении задач. Не забывайте также применять правило синусов или косинусов в соответствии с данными условиями задачи.

Задача на проверку: Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если плоский угол при вершине составляет 45°, а боковое ребро имеет длину 8 см.