Яку довжину має середня лінія трапеції, яка має бічну сторону рівною 7 см і описана навколо кола?

Тема: Середня лінія трапеції, описаної навколо кола

Пояснення: Середня лінія трапеції - це відрізок, який з"єднує середини двох непаралельних сторін трапеції. Якщо дана трапеція описана навколо кола, це означає, що трапеція є вписаною трапецією і вписаним колом, тобто вписана у коло.

Для того, щоб знайти довжину середньої лінії трапеції, нам потрібно знати радіус описаного кола. Припустимо, що радіус описаного кола дорівнює R см.

Так як середня лінія трапеції проходить через середини непаралельних сторін трапеції, то вона ділиться на дві рівні частини. Одна з цих частин є радіусом описаного кола та прямокутником утворює прямокутний трикутник з основою, рівною бічній стороні трапеції (7 см).

Використовуючи теорему Піфагора у цьому прямокутному трикутнику, можемо знайти довжину другої половини середньої лінії трапеції:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ (\frac{7}{2})^2 + b^2 = R^2 \]
\[ \frac{49}{4} + b^2 = R^2 \]
\[ b = \sqrt{R^2 - \frac{49}{4}} \]

Тоді, загальна довжина середньої лінії трапеції буде:
\[ L = 2b = 2\sqrt{R^2 - \frac{49}{4}} \]

Приклад використання:
Якщо радіус описаного кола дорівнює 5 см, то довжина середньої лінії трапеції буде:
\[ L = 2\sqrt{5^2 - \frac{49}{4}} = 2\sqrt{25 - \frac{49}{4}} = 2\sqrt{\frac{100}{4} - \frac{49}{4}} = 2\sqrt{\frac{51}{4}} = 2\cdot\frac{\sqrt{51}}{2} = \sqrt{51} \approx 7.141\,см \]

Порада:
Щоб краще зрозуміти цю тему, розгляньте схеми вписаних трапецій та їх властивості. Вивчіть також теореми про вписані кути та дотичні до кола. Вони допоможуть вам зрозуміти зв"язок між радіусом описаного кола і середньою лінією трапеції.

Вправа:
Дана трапеція описана навколо кола радіусом 8 см. Знайдіть довжину середньої лінії трапеції.