Яку діагональ має прямокутник, який нахилений до площини основи під кутом 60° і є осьовим перерізом циліндра? Прошу

Тема урока: Геометрия прямоугольников в пространстве

Описание:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать основные свойства прямоугольников в пространстве. В данной задаче нам дан прямоугольник, который наклонен к основанию под углом 60° и является поперечным сечением цилиндра.

1) Для определения радиуса основы цилиндра, нам понадобится длина диагонали прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Из соотношений в прямоугольном треугольнике известно, что гипотенуза равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ - это стороны прямоугольника. Для нашего случая, поскольку угол между диагональю и стороной прямоугольника равен 60°, у нас есть следующие соотношения: $a = c \cdot \cos{60°}$ и $b = c \cdot \sin{60°}$.

2) Для определения высоты цилиндра, нам нужно знать длину бокового ребра прямоугольника. Так как прямоугольник является поперечным сечением цилиндра, длина бокового ребра будет также высотой цилиндра.

3) Площадь основы цилиндра будет равна площади прямоугольника.

Демонстрация:
Допустим, у нас есть прямоугольник со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Чтобы найти радиус основы цилиндра, мы можем использовать формулу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $c$ - это диагональ прямоугольника. Подставляя известные значения, получим: $c = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21$ см. Затем, для нахождения радиуса основы цилиндра, используем формулу радиуса боковой поверхности цилиндра: $r = \frac{c}{2}$. В нашем случае: $r = \frac{7.21}{2} \approx 3.60$ см.

Совет:
Чтобы лучше понять это понятие, можно представить цилиндр как банку из-под газировки или стакан. Также полезно визуализировать задачу и использовать схемы или рисунки для более ясного представления.

Задание для закрепления:
У прямоугольника стороны $12$ см и $16$ см. Найти радиус основы цилиндра, высоту цилиндра и площадь основы цилиндра.