Який кут А трикутника АВС, якщо координати точок А, В і С відомі: А(1;0;2), В(1;-4;3) та С(-1;-1;3)?

Тема: Определение угла в трехмерном пространстве

Объяснение: Чтобы найти угол ABC трехмерного треугольника ABC с заданными координатами точек A(1;0;2), B(1;-4;3) и C(-1;-1;3), мы можем использовать формулу косинусов.

Формула косинусов гласит:

cos(уголABC) = (AB · AC) / (|AB| · |AC|),

где AB и AC - векторные значения сторон треугольника, а |AB| и |AC| - их длины.

Для начала, мы должны найти векторные значения сторон AB и AC. Для этого нужно вычислить разность координат между точками:

AB = B - A = (1 - 1; -4 - 0; 3 - 2) = (0; -4; 1),
AC = C - A = (-1 - 1; -1 - 0; 3 - 2) = (-2; -1; 1).

Затем найдем длины этих векторов:

|AB| = √(0² + (-4)² + 1²) = √(0 + 16 + 1) = √17,
|AC| = √((-2)² + (-1)² + 1²) = √(4 + 1 + 1) = √6.

Теперь мы можем подставить значения в формулу косинусов:

cos(уголABC) = ((0; -4; 1) · (-2; -1; 1)) / (√17 · √6).

То есть, мы должны перемножить соответствующие компоненты векторов, а затем разделить полученное значение на произведение длин векторов.

Решив это выражение, мы найдем значение косинуса угла ABC. Затем можно использовать обратную косинусную функцию (арккосинус) для нахождения значения самого угла ABC.

Пример использования: Найдем значение угла ABC в треугольнике ABC с заданными координатами точек: A(1;0;2), B(1;-4;3) и C(-1;-1;3).

Совет: Для более понятного представления трехмерных координат и вычислений, можно нарисовать треугольник на декартовой системе координат.

Упражнение: Найдите значение угла BAC в треугольнике ABC с заданными координатами точек: A(2;1;3), B(-1;0;1) и C(4;2;2).