Яким є кут А трикутника АВС з координатами точок A(1;0;2), B(1;-4;3), C(-1;-1;3)?

Тема: Координати і вектори

Пояснение: Щоб знайти кут між векторами у трьохвимірному просторі, спочатку потрібно знайти ці вектори і обчислити їх скалярний добуток. Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними. Використовуючи формулу для скалярного добутку векторів:
У = AB * AC = (x2 - x1)*(x3 - x1) + (y2 - y1)*(y3 - y1) + (z2 - z1)*(z3 - z1),
де A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C(x3, y3, z3) є координатами відповідних точок, ми зможемо обчислити скалярний добуток AB * AC, що відповідає добутку довжин векторів AB і AC на косинус кута між ними. Далі, використовуючи формулу для обчислення кута між векторами:
косінус кута = У / (|AB| * |AC|),
де |AB| і |AC| представляють довжини векторів AB і AC, арккосинус косинуса кута дозволяє нам знайти величину кута.
Таким чином, ми зможемо знайти кут А трікутника АВС з відомими координатами точок A(1;0;2), B(1;-4;3) і C(-1;-1;3).

Приклад використання:
1. AB = (1 - 1, 0 - (-4), 2 - 3) = (0, 4, -1);
2. AC = (-1 - 1, -1 - (-4), 3 - 2) = (-2, 3, 1);
3. У = (0)*(-2) + (4)*(3) + (-1)*(1) = 12 - 1 = 11;
4. |AB| = sqrt((0)^2 + (4)^2 + (-1)^2) = sqrt(0 + 16 + 1) = sqrt(17);
5. |AC| = sqrt((-2)^2 + (3)^2 + (1)^2) = sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(14);
6. косінус кута = 11 / (sqrt(17) * sqrt(14)) ≈ 0.456;
7. кут А = arccos(0.456) ≈ 63.84 градуса.

Порада: Щоб зрозуміти краще, як обчислити кут між векторами у трьохвимірному просторі, спробуйте уявити вектори як стрілки, що починаються з однієї точки і з"єднують інші. Візуалізація може допомогти зрозуміти інтуїтивно, як кут формується між цими векторами.

Вправа: Знайдіть кут B і C трікутника АВС з відомими координатами точок A(1;0;2), B(1;-4;3) і C(-1;-1;3).