Які зміни відбудуться з об ємом кулі, якщо її діаметр збільшити на два рази?

Содержание: Изменение объема кули

Описание:
Представьте, что у нас есть куля, и ее диаметр равен d (пусть в этом случае d - это изначальный диаметр кули). Формула для объема кули выглядит следующим образом:

V = (4/3) * π * r^3, где V - объем кули и r - радиус кули.

Теперь, если мы увеличиваем диаметр кули в 2 раза, новый диаметр станет равным 2d. Радиус новой кули будет же равен половине нового диаметра, то есть r = 2d/2 = d.

Используя эту информацию, мы можем пересчитать объем кули с новыми размерами:

V" = (4/3) * π * r"^3, где V" - новый объем кули, r" - новый радиус кули.

Подставим в формулу значение нового радиуса:

V" = (4/3) * π * d^3

Таким образом, объем кули изменится следующим образом:

V" = V * (2^3) = V * 8

Это означает, что объем кули увеличится в 8 раз, если мы увеличим ее диаметр в 2 раза.

Пример: Пусть изначальный объем кули равен 100 см^3. Если мы увеличим ее диаметр в 2 раза, новый объем кули будет равным 100 * 8 = 800 см^3.

Совет: Чтобы лучше понять изменение объема кули при изменении ее размеров, можно представить куб с ребром длиной d и посчитать его объем (V_cube = d^3). Затем вообразить, что куб превращается в круг с таким же диаметром, что и длина ребра куба. Объем круга составит V_circle = (π/6) * d^3. Если выразить (4/3) * π * r^3 в виде (π/6) * (2d)^3, то можно заметить, что эти выражения равны, а значит, объем кули будет равен объему куба. Это помогает интуитивно понять, что изменение объема связано с возведением в куб.

Задача на проверку: Изначальный объем кули равен 125 см^3. Какой будет новый объем кули, если увеличить ее диаметр в 3 раза?

Тема занятия: Изменение объема сферы в зависимости от изменения диаметра

Разъяснение: Для понимания изменения объема сферы при изменении диаметра, важно знать, что объем сферы вычисляется по формуле V = (4/3)πr^3, где V - объем, π - математическая постоянная, а r - радиус сферы. Обратите внимание, что радиус - половина диаметра.

Предположим, у нас есть сфера с диаметром d и радиусом r. Если диаметр увеличивается в два раза, новый диаметр будет равен 2d. Тогда новый радиус будет равен половине нового диаметра, то есть r" = d.

Чтобы определить изменение объема, нам необходимо найти новый объем V". По формуле:

V" = (4/3)πr"^3

подставляем новый радиус:

V" = (4/3)π(d)^3

Упрощая это уравнение, получаем:

V" = (4/3)π(8r^3/8)

V" = (4/3)π(2^3r^3)

V" = (4/3)π(8r^3)

V" = 8(4/3)πr^3

V" = 8V

Таким образом, объем сферы увеличивается в 8 раз при увеличении диаметра в 2 раза.

Совет: Чтобы лучше понять эту концепцию, рекомендуется использовать конкретные числовые значения для диаметра и радиуса. Вычислите объем сферы до и после увеличения диаметра, чтобы наглядно увидеть изменение. Попробуйте провести этот эксперимент с разными значениями диаметра, чтобы убедиться в том, что объем действительно увеличивается в 8 раз.

Задача на проверку: У сферы был диаметр 10 см. Найдите изменение объема, если диаметр увеличился в 3 раза.