Які рівняння кола будуть симетричними колу x2+y2=16 відносно прямої?

Предмет вопроса: Симметрия кола относительно прямой

Объяснение: Чтобы найти уравнения окружностей, симметричных относительно заданной прямой, мы должны учесть особенность симметричных фигур, а именно, что расстояния от центра каждой из окружностей до заданной прямой будут одинаковыми, но с противоположными знаками.

Уравнение заданной окружности: x^2 + y^2 = 16

Пусть уравнение симметричной окружности относительно прямой имеет вид x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, где (g, f) - координаты точки на прямой, а c - расстояние от центра окружности до прямой. Расстояние от центра окружности до прямой вычисляется по формуле:

|Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2) = |2g + 2f + c| / sqrt(1^2 + 1^2) = |2g + 2f + c| / sqrt(2)

Поскольку это расстояние одинаково для всех симметричных окружностей, мы можем записать:

|2g + 2f + c| / sqrt(2) = 4

Рассмотрим два случая:

1. Если 2g + 2f + c = 4 * sqrt(2), то уравнение окружности будет x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0.
2. Если 2g + 2f + c = -4 * sqrt(2), то уравнение окружности будет x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0.

Таким образом, у нас два уравнения симметричных окружностей относительно заданной прямой.

Например: Найти два уравнения окружностей, симметричных окружности x^2 + y^2 = 16 относительно прямой y = x.

Совет: Чтобы лучше понять симметрию окружностей относительно прямой, нарисуйте окружность и задайте произвольную прямую. Затем вычислите расстояние от центра окружности до прямой и используйте его для определения уравнений симметричных окружностей.

Закрепляющее упражнение: Найти уравнения окружностей, симметричных окружности x^2 + y^2 = 9 относительно прямой y = -x.