What are the first six terms of the sequence h(n), given that h1 = 3 and hn+1 = 1/3hn

Название: Рекурсивная последовательность

Инструкция: Рекурсивная последовательность - это последовательность чисел, где каждый следующий элемент вычисляется на основе предыдущего. В данной задаче у нас есть рекурсивное правило для последовательности h(n): hn+1 = 1/3hn + 6. Здесь h(n) представляет собой значение элемента последовательности в позиции n.

Чтобы найти первые шесть членов последовательности h(n), мы можем использовать данное рекурсивное правило, начиная с первого члена h1 = 3:

h1 = 3
h2 = 1/3 * h1 + 6 = 1/3 * 3 + 6 = 1 + 6 = 7
h3 = 1/3 * h2 + 6 = 1/3 * 7 + 6 = 7/3 + 6 = 9/3 + 6 = 9 + 6 = 15
h4 = 1/3 * h3 + 6 = 1/3 * 15 + 6 = 15/3 + 6 = 5 + 6 = 11
h5 = 1/3 * h4 + 6 = 1/3 * 11 + 6 = 11/3 + 6 = 3 + 6 = 9
h6 = 1/3 * h5 + 6 = 1/3 * 9 + 6 = 9/3 + 6 = 3 + 6 = 9

Таким образом, первые шесть членов последовательности h(n) равны: 3, 7, 15, 11, 9, 9.

Совет: Для поиска следующего члена последовательности можно использовать рекурсивное правило. Удобно записывать выражение для hn в терминах предыдущего члена, чтобы легче было продолжить последовательность.

Закрепляющее упражнение: Найдите первые 8 членов последовательности h(n), если h1 = 2 и hn+1 = 2hn + 3.

Тема урока: Арифметические последовательности

Разъяснение: Арифметическая последовательность - это последовательность чисел, в которой каждый член получается путем прибавления одного и того же числа (называемого разностью) к предыдущему члену.

В данной задаче мы имеем арифметическую последовательность h(n), где h1 = 3 и hn+1 = 1/3hn + 6. Для нахождения первых шести членов последовательности, мы можем использовать данное рекуррентное соотношение для нахождения следующего члена, итеративно применяя его к предыдущему члену.

Решение:
h1 = 3 (дано)

h2 = 1/3h1 + 6 = 1/3 * 3 + 6 = 1 + 6 = 7

h3 = 1/3h2 + 6 = 1/3 * 7 + 6 = 7/3 + 18/3 = 25/3

h4 = 1/3h3 + 6 = 1/3 * 25/3 + 6 = 25/9 + 54/9 = 79/9

h5 = 1/3h4 + 6 = 1/3 * 79/9 + 6 = 79/27 + 162/27 = 241/27

h6 = 1/3h5 + 6 = 1/3 * 241/27 + 6 = 241/81 + 486/81 = 727/81

Таким образом, первые шесть членов последовательности h(n) равны: 3, 7, 25/3, 79/9, 241/27, 727/81.

Совет: Для упрощения решения задач по арифметическим последовательностям, помните, что следующий член получается путем прибавления разности к предыдущему члену. Устанавливайте начальное значение и используйте рекуррентное соотношение для нахождения следующих членов.

Практика: Найдите первые пять членов арифметической последовательности t(n), если t1 = -2 и разность равна 4.