Геометрия - подобие треугольников и площадь треугольника
В прямоугольной трапеции ABCD с углом BAD равным 90°, длина оснований AD=12 и BC=8, а диагональ BD=20. Диагонали
В прямоугольной трапеции ABCD с углом BAD равным 90°, длина оснований AD=12 и BC=8, а диагональ BD=20. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) Докажите подобие треугольников ВМС и DMA. б) Найдите площадь треугольника BMC.
10.12.2023 13:29
Написать свой ответ:
Объяснение:
а) Чтобы доказать подобие треугольников ВМС и DMA, нужно установить, что их углы равны, а соответствующие им стороны пропорциональны.
1. Угол DAB является прямым углом, так как по условию он равен 90°.
2. Угол ACM и угол BMV являются вертикальными углами и, следовательно, равны.
3. Угол ACD равен углу BDM по свойству углов при пересечении двух прямых.
Таким образом, углы треугольника ВМС равны углам треугольника DMA.
4. Поскольку М является серединой диагонали BD, то отрезки AM и MD равны между собой.
5. Отрезок MD является средним отрезком треугольника DBC, а отрезок AM - средним отрезком треугольника ADB.
Следовательно, стороны треугольника ВМС пропорциональны сторонам треугольника DMA.
Таким образом, треугольник ВМС и треугольник DMA подобны.
б) Чтобы найти площадь треугольника BMC, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по длинам двух его сторон и синусу между ними: S = (1/2) * a * b * sin(angle).
1. Для треугольника BMC известны длины его сторон BC = 8 и MC = 10 (по теореме Пифагора).
2. Мы также знаем, что угол B равен углу A, так как треугольник BCM равнобедренный (BC = CM).
3. Следовательно, мы можем вычислить площадь треугольника BMC следующим образом:
S = (1/2) * 8 * 10 * sin(A)
Пример использования:
а) Для доказательства подобия треугольников ВМС и DMA, необходимо показать, что их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.
б) Чтобы найти площадь треугольника BMC, мы можем использовать формулу S = (1/2) * BC * MC * sin(A), где BC = 8, MC = 10 и угол A равен углу B.
Совет:
При решении геометрических задач, всегда рисуйте схематичные диаграммы, чтобы иметь наглядное представление о фигурах и углах.
Упражнение:
Дана прямоугольная трапеция ABCD с углом BAD равным 90°. Длина оснований AD=9 и BC=6, а диагональ BD=12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) Докажите подобие треугольников ВМС и DMA. б) Найдите площадь треугольника BMC.