В прямоугольном треугольнике, если синус угла равен √3/2, то каков косинус этого угла? Пожалуйста, предоставьте ответ

Содержание: Тригонометрия - Связь между синусом и косинусом

Описание:
В прямоугольном треугольнике, косинус угла определяется отношением длины прилежащего катета к гипотенузе треугольника.
Мы знаем, что синус угла равен √3/2. Синус угла вычисляется как отношение длины противолежащего катета к гипотенузе.
Таким образом, мы можем найти противолежащий катет, используя теорему Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Для нашего треугольника:
\(a^2 = c^2 - b^2\), где а - противолежащий катет, b - прилежащий катет, c - гипотенуза.

Подставляем значение синуса (√3/2):
\(\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Возведем в квадрат обе части уравнения:
\(\left(\frac{b}{c}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\)
\(\frac{b^2}{c^2} = \frac{3}{4}\)

Зная уравнение Пифагора (a^2 = c^2 - b^2), мы можем подставить значение b^2:
\(a^2 = c^2 - \frac{3}{4}\)

Теперь нам нужно найти косинус угла, который выражается через отношение длины прилежащего катета к гипотенузе:
\(\cos{A} = \frac{b}{c}\)

Мы можем выразить косинус угла А в нашем случае следующим образом:
\(\cos{A} = \frac{\sqrt{c^2 - a^2}}{c}\)

Подставляем полученное значение a^2 и b^2:
\(\cos{A} = \frac{\sqrt{c^2 - \frac{3}{4}}}{c}\)

Теперь мы можем вычислить косинус угла А, подставив численные значения в формулу.

Пример:
Дано: синус угла А = √3/2
Найти: косинус угла А

Решение:
1. Применяем теорему Пифагора:
\(a^2 = c^2 - b^2\)
2. Подставляем значение синуса угла (√3/2):
\(\frac{b^2}{c^2} = \frac{3}{4}\)
3. Используем формулу для вычисления косинуса угла:
\(\cos{A} = \frac{\sqrt{c^2 - a^2}}{c}\)
4. Подставляем значение \(a^2\) и \(b^2\) из предыдущих шагов:
\(\cos{A} = \frac{\sqrt{c^2 - \frac{3}{4}}}{c}\)
5. Вычисляем значение косинуса угла А, подставляя значения в формулу.

Совет:
Для лучшего понимания тригонометрии и ее связей, рекомендуется изучить основные определения и формулы, такие как соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, определение и свойства тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и др.), а также формулы приведения и преобразования тригонометрических функций.

Дополнительное задание:
В прямоугольном треугольнике, если косинус угла равен 1/2, то каков синус этого угла? Выразите ответ в виде десятичной дроби.