Доказательство, что четырёхугольник является трапецией
Точки a, b, c и d не находятся на одной плоскости. k и m - точки пересечения медиан треугольников acd
Точки a, b, c и d не находятся на одной плоскости. k и m - точки пересечения медиан треугольников acd и bcd соответственно. Покажите, что четырёхугольник akmb является трапецией. Определите длину отрезка km при известном значении ab=27.
20.12.2023 12:20
Написать свой ответ:
Разъяснение: Чтобы доказать, что четырёхугольник AKMB является трапецией, нам необходимо показать, что противоположные стороны параллельны.
Дадим обозначения. Пусть точка O - центр масс треугольника ACD. Тогда медианы AO и CO пересекаются в точке K, а медианы BO и DO пересекаются в точке M.
В силу свойств медиан треугольника, точка O делит медиану AO в отношении 2:1, а медиану CO также в отношении 2:1. Поэтому OK = 2AK и OM = 2BM.
Также известно, что точки A, B, C и D не лежат на одной плоскости, поэтому прямые AB и CD параллельны.
Теперь рассмотрим треугольник AKM. У нас есть AK = OK и AM = OM, так как медианы равны между собой. Также известно, что AB || CD.
Таким образом, в треугольнике AKM у нас есть две параллельные стороны AK и BM, поэтому четырёхугольник AKMB является трапецией.
Демонстрация:
Задача: В треугольнике ABC точки D и E делят сторону BC на 3 равные части, а точки F и G делят сторону AC на 4 равные части. Покажите, что FG || AB.
Шаги решения:
1. Докажем, что AD = 3DE. Так как точка D делит сторону BC на 3 равные части, то AD является медианой. Медиана делит сторону на отрезок, который равен двум другим отрезкам, поэтому AD = 2DE. Но также известно, что AD = 3DE, следовательно, 3DE = 2DE и DE = AD/3.
2. Докажем, что BG = 3GF. Аналогично, точка G делит сторону AC на 4 равные части, значит BG является медианой и делит сторону на отрезок, который равен трем другим отрезкам. То есть BG = 3GF.
3. Докажем, что DE || FG. Используем полученные равенства: DE = AD/3 и FG = BG/3. Так как AD = BG (по определению треугольника с равными сторонами), то DE || FG.
4. Также известно, что AB || CD. Исходя из свойств параллельных линий, если DE || FG и AB || CD, то FG || AB. Что и требовалось доказать.
Совет: При доказательстве параллельности сторон в геометрических фигурах, особое внимание уделяйте свойствам медиан и отрезкам, делящим стороны на равные части. Используйте свойства параллельных линий.
Дополнительное упражнение: В треугольнике XYZ точки M и N делят сторону XY на 2 равные части, а точки P и Q делят сторону XZ на 3 равные части. Докажите, что прямые MP и NQ параллельны.