SABCD is a regular quadrilateral pyramid, with all edges equal to 37. Point M is the midpoint of edge SA. Point
SABCD is a regular quadrilateral pyramid, with all edges equal to 37. Point M is the midpoint of edge SA. Point N belongs to SD, with DN:NS = 1:3. Find the length of the segment on which the plane passing through points N, M, B intersects the base ABCD of the pyramid.
17.11.2023 20:26
Написать свой ответ:
Разъяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти длину отрезка, на который плоскость, проходящая через точки N, M и B, пересекает основание ABCD пирамиды SABCD.
Поскольку пирамида SABCD является правильной четырехугольной пирамидой, все ее ребра равны 37.
Известно, что точка M является серединой ребра SA. Если мы нарисуем плоскость, проходящую через точки N, M и B, то эта плоскость будет иметь общую точку с основанием ABCD, которую мы должны найти.
Поскольку точка M является серединой ребра SA, длина отрезка SM будет равна половине длины ребра SA, то есть 37/2 = 18.5.
Также известно, что DN:NS = 1:3. Причем отношение DN к DS равно 1 к 4, так как NS = 3 * DN.
Учитывая, что ребро DS равно 37, мы можем найти длину отрезка DN, делая DN = DS * (1/4) = 37 * (1/4) = 9.25.
Итак, мы знаем длины отрезков SM (18.5) и DN (9.25). Чтобы найти длину пересекающего отрезка на основании ABCD, нам нужно найти длину отрезка NB.
Разбивая пирамиду на два треугольника SND и SNB, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка NB.
Длина отрезка NB = √(SN² - BN²)
Используя известные данные, мы можем вычислить SN и BN. SN равно сумме DN и NS, то есть 9.25 + 3 * 9.25 = 37.
BN равно половине длины ребра NB, то есть 37/2 = 18.5.
Теперь мы можем вычислить длину отрезка NB, подставив значения SN и BN в формулу:
NB = √(37² - 18.5²) = √(1369 - 342.25) = √1026.75 ≈ 32.04.
Итак, длина пересекающего отрезка на основании ABCD равна примерно 32.04.
Например: Найдите длину пересекающего отрезка на основании ABCD пирамиды SABCD, если все ее ребра равны 37, точка M является серединой ребра SA, точка N находится на ребре SD, и DN:NS = 1:3.
Совет: Для решения этой задачи важно понять основные свойства правильных четырехугольных пирамид и использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка на основании.
Упражнение: В пирамиде XYZW все ребра равны 15. Точка M является серединой ребра XW. Точка N находится на ребре YZ, и DN:NS = 2:5. Найдите длину пересекающего отрезка на основании XYZW пирамиды, если основание - квадрат со сторонами 24.