При яких значеннях х довжина вектора а дорівнює 5, якщо а = (х-2;3)?

Тема урока: Длина вектора
Описание: Длина вектора вычисляется по формуле модуля вектора: |a| = √(x₁² + x₂² + ... + xn²), где x₁, x₂, ..., xn - компоненты вектора. В данной задаче вектор a задан в виде (x-2; 3), где первая компонента равна x - 2, а вторая компонента равна 3. Мы должны найти значения x, при которых длина вектора a равна 5. Для этого мы подставим значения компонент вектора в формулу длины вектора и приравняем ее к 5. Получим уравнение: √((x-2)² + 3²) = 5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. После раскрытия скобок получим: (x-2)² + 9 = 25. Раскроем квадрат и упростим уравнение: x² - 4x + 4 + 9 = 25. x² - 4x - 12 = 0. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -12. D = (-4)² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Рассчитываем корни по формуле x = (-b ± √D) / 2a. Получаем x₁ = (4 + √64) / 2 = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6 и x₂ = (4 - √64) / 2 = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2. Значит, при x = 6 и x = -2, длина вектора a равна 5.
Пример: Вычислить длину вектора a, если a = (х-2; 3) и a = 5.
Совет: При решении задач по длине вектора, держите в уме формулу модуля вектора |a| = √(x₁² + x₂² + ... + xn²), а также способы решения квадратного уравнения для нахождения значений x.
Упражнение: Найдите длину вектора b = (4; -1) и определите, при каких значениях компонент вектора b его длина будет равна 5.