При каком значении m векторы a(3;-4) и b(m;9) становятся 1) параллельными 2) ортогональными?

Предмет вопроса: Векторы

Инструкция:

1) Чтобы векторы a(3;-4) и b(m;9) были параллельными, необходимо, чтобы их направления были совпадающими. Направление вектора задается отношением между его координатами. В случае вектора a это -4/3, а для вектора b это 9/m. Значит, -4/3 должно быть равно 9/m, иначе говоря, -4/3 = 9/m. Решим это уравнение относительно m. Умножим обе части на м и получим -4m/3 = 9. Затем умножим обе части на 3 и разделим на -4, получим m = -27/4. Значит, векторы a(3;-4) и b(-27/4;9) становятся параллельными при m = -27/4.

2) Чтобы векторы a(3;-4) и b(m;9) были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно 0. Скалярное произведение векторов a и b определяется следующим образом: a * b = 3m + (-4) * 9 = 3m - 36. Значит, 3m - 36 = 0. Решим это уравнение относительно m. Приравняем 3m - 36 к 0 и получим 3m = 36. Затем разделим обе части на 3 и получим m = 12. Значит, векторы a(3;-4) и b(12;9) становятся ортогональными при m = 12.

Демонстрация:
1) Параллельными становятся векторы a(3;-4) и b(-27/4;9) при m = -27/4.
2) Ортогональными становятся векторы a(3;-4) и b(12;9) при m = 12.

Совет:
- Чтобы понять, когда векторы становятся параллельными или ортогональными, следует учесть определения и свойства векторов.
- Практикуйтесь в решении задач, чтобы закрепить полученные знания.

Упражнение:
При каких значениях m векторы a(-2;5) и b(m;1) становятся:
1) параллельными?
2) ортогональными?

Тема урока: Векторы и их параллельность/ортогональность

Пояснение: Для определения параллельности или ортогональности векторов, мы можем использовать свойства скалярного произведения.

1) Для того чтобы векторы a и b были параллельными, их скалярное произведение должно быть равно произведению их модулей умноженных на косинус угла между ними, т.е. a∙b = |a| ∙ |b| ∙ cos(θ), где θ - угол между векторами. Если векторы параллельны, то cos(θ) = 1, что означает, что a∙b = |a| ∙ |b|.
2) Для того чтобы векторы a и b были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно нулю, т.е. a∙b = 0.

Таким образом, мы можем записать скалярные произведения векторов a и b и решить уравнения:
1) Для параллельности: (3)(m) + (-4)(9) = (3) ∙ √(m^2 + 9^2)
2) Для ортогональности: (3)(m) + (-4)(9) = 0

Пример:
1) Для определения параллельности векторов a(3;-4) и b(m;9) нужно решить уравнение (3)(m) + (-4)(9) = (3) ∙ √(m^2 + 9^2).
2) Для определения ортогональности векторов a(3;-4) и b(m;9) нужно решить уравнение (3)(m) + (-4)(9) = 0.

Совет: Для решения уравнений скалярного произведения, вы можете использовать алгебраические методы для раскрытия скобок и приведения подобных терминов. Не забывайте учитывать правила знака при умножении и сложении чисел.

Дополнительное задание: Определить при каком значении m векторы a(2;-1) и b(m;3) становятся параллельными и при каком значении m ортогональными.