При каком взаимном расположении двух прямых можно утверждать, что плоскость альфа параллельна плоскости бета?

Название: Взаимное расположение прямых и параллельные плоскости
Разъяснение: Для того чтобы плоскость альфа была параллельна плоскости бета, необходимо и достаточно, чтобы две прямые, лежащие в этих плоскостях, не пересекались и не были параллельны между собой.

В первом случае, если две прямые пересекаются в какой-то точке, то плоскость, проходящая через эти две прямые, не будет параллельна плоскости бета.

Во втором случае, если две прямые параллельны, то плоскость, проходящая через эти две прямые, будет параллельна плоскости бета. Это означает, что плоскость альфа будет параллельна плоскости бета.

Пример:
Заданы две прямые: \( l_1: x + y = 4 \) и \( l_2: 2x - y = 1 \). Определите, будут ли плоскости, проходящие через эти прямые, параллельными.

Решение:
Преобразуем уравнения прямых к общему виду:
\( l_1: x + y - 4 = 0 \)
\( l_2: 2x - y - 1 = 0 \)

Плоскость, проходящая через прямую \( l_1 \), задается уравнением:
\( \pi_1: x + y - 4 = 0 \)

Плоскость, проходящая через прямую \( l_2 \), задается уравнением:
\( \pi_2: 2x - y - 1 = 0 \)

Так как уравнения плоскостей не имеют общих переменных (коэффициент при x в одном уравнении равен 1, а в другом - 2), то прямые \( l_1 \) и \( l_2 \) параллельны. Следовательно, плоскость \( \pi_1 \) будет параллельна плоскости \( \pi_2 \).


Совет:
Если вы хотите понять, параллельны ли плоскости, проходящие через две заданные прямые, общий подход заключается в преобразовании уравнений этих прямых к общему виду и сравнении коэффициентов при переменных. Если коэффициенты разные, то прямые параллельны, а плоскости будут параллельными. Если коэффициенты одинаковые, то прямые пересекаются, и плоскости не параллельны.


Ещё задача:
Рассмотрим две прямые: \( l_1: y = 2x + 1 \) и \( l_2: y = -3x - 2 \). Определите, будут ли плоскости, проходящие через эти прямые, параллельными.