Подтвердите, что параллелограмм, построенный на векторах а=(1,2,3) и в=(3,2,1) , является ромбом

Содержание: Параллелограммы и ромбы

Разъяснение: Для того чтобы понять, является ли параллелограмм, построенный на векторах а=(1,2,3) и в=(3,2,1), ромбом, нам нужно проверить несколько условий.

1. Первое условие: Диагонали параллелограмма должны быть равны. Для этого найдем векторы диагоналей.

Диагональ AC: A - C = а - (-в) = а + в = (1,2,3) + (3,2,1) = (4,4,4).
Диагональ BD: B - D = в - (-а) = в + а = (3,2,1) + (1,2,3) = (4,4,4).

Как видим, векторы диагоналей равны (4,4,4), что означает, что диагонали параллелограмма равны.

2. Второе условие: Для ромба необходимо, чтобы все его углы были прямыми.

Проверим, являются ли углы ромба прямыми, используя свойство скалярного произведения векторов. Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол между векторами составляет 90 градусов.

Угол BAD: A · D = 1*1 + 2*2 + 3*3 = 14.
Угол ABC: A · C = 1*3 + 2*2 + 3*1 = 10.

Оба скалярных произведения не равны нулю, поэтому углы параллелограмма не являются прямыми и, следовательно, параллелограмм не является ромбом.

Совет: Чтобы легче понять и запомнить свойства параллелограммов и ромбов, рекомендуется выполнить дополнительные упражнения на построение и классификацию фигур.

Дополнительное задание: Постройте параллелограмм, используя векторы а=(2,1) и в=(-1,3). Затем определите, является ли этот параллелограмм ромбом.

Тема урока: Геометрия

Объяснение:

Чтобы подтвердить, что параллелограмм, построенный на векторах а=(1,2,3) и в=(3,2,1), является ромбом, нам нужно проверить два факта: что все стороны параллелограмма равны и что его диагонали перпендикулярны.

1. Проверка сторон:
Для этого нам нужно вычислить длины всех сторон параллелограмма. Длина стороны параллелограмма вычисляется как модуль разности координат его вершин:

АВ = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]

Вычислим длины сторон АВ, АС, ВС и ВD:

АВ = √[(3-1)² + (2-2)² + (1-3)²] = √[4 + 4 + 4] = √12 = 2√3
АС = √[(3-1)² + (2-2)² + (1+3)²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5
ВС = √[(1+3)² + (2-2)² + (3-1)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5
ВD = √[(1-3)² + (2-2)² + (3-1)²] = √[4 + 4 + 4] = √12 = 2√3

Мы видим, что АВ = ВС и АС = ВD, что подтверждает, что стороны параллелограмма равны.

2. Проверка диагоналей:
Для этого нам нужно убедиться, что произведение скалярных произведений диагоналей параллелограмма равно нулю. Если произведение равно нулю, это означает, что диагонали перпендикулярны.

Для параллелограмма с вершинами A, B, C и D, диагонали AC и BD:
AC = C - A = (3,2,1) - (1,2,3) = (2,0,-2)
BD = D - B = (1,2,3) - (3,2,1) = (-2,0,2)

Теперь найдем скалярное произведение диагоналей: AC · BD = (2·-2) + (0·0) + (-2·2) = -4 + 0 - 4 = -8

Мы видим, что скалярное произведение диагоналей не равно нулю, поэтому диагонали параллелограмма AC и BD не перпендикулярны.

Таким образом, мы не можем считать параллелограмм, построенный на векторах а=(1,2,3) и в=(3,2,1), ромбом.

Совет:
Если вам нужно подтвердить, что параллелограмм является ромбом, всегда проверяйте равенство всех сторон и перпендикулярность его диагоналей. Это поможет вам убедиться, что фигура удовлетворяет определению ромба.

Ещё задача:
Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), C(5, 4, 3), D(3, 4, 5). Проверьте, является ли этот параллелограмм ромбом. Найдите длины всех его сторон и проверьте перпендикулярность его диагоналей векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$.