Подпишусь, выскажу благодарность и выберу наиболее подходящий ответ. Точки A(−5;13;3) и B(−3;9;−1) находятся

Тема занятия: Геометрия в трехмерном пространстве

Разъяснение:
а) Чтобы найти координаты точки M1 при параллельном сдвиге точки M на вектор, нужно взять каждую координату точки M и добавить соответствующую координату вектора сдвига. Таким образом, мы получим координаты точки M1.
Пусть вектор сдвига задан координатами (a, b, c). Тогда координаты точки M1 будут (x1, y1, z1), где
x1 = x + a
y1 = y + b
z1 = z + c

б) Чтобы найти координаты вектора, симметричного вектору относительно оси Oz, нужно изменить знак у координат x и y, и оставить координату z неизменной. Таким образом, мы получим координаты вектора с противоположным направлением.
Пусть исходный вектор задан координатами (x, y, z). Тогда координаты симметричного вектора будут (-x, -y, z).

в) Чтобы найти координаты точки M3, которая симметрична M2 относительно плоскости Oxy, нужно изменить знак у координат x и y точки M2, и оставить координату z неизменной. Таким образом, мы получим координаты точки M3, симметричной M2 относительно плоскости Oxy.
Пусть координаты точки M2 равны (x2, y2, z2). Тогда координаты точки M3 будут (-x2, -y2, z2).

г) Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: для двух векторов a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3), скалярное произведение a и b равно a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.

д) Уравнение сферы с центром в точке C и радиусом R задается следующим образом: (x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = R², где (xc, yc, zc) - координаты центра сферы.

Доп. материал:
а) Пусть вектор сдвига имеет координаты (2, -1, 4). Найдите координаты точки M1 при параллельном сдвиге точки M(1, 3, -2).
Ответ: Координаты точки M1 при параллельном сдвиге точки M на вектор (2, -1, 4) равны (1+2, 3-1, -2+4) = (3, 2, 2).

б) Найдите координаты вектора, симметричного вектору (-1, 5, 2) относительно оси Oz.
Ответ: Координаты симметричного вектора равны (1, -5, 2).

в) Найдите координаты точки M3, которая симметрична точке M2(4, -2, 0) относительно плоскости Oxy.
Ответ: Координаты точки M3, симметричной точке M2 относительно плоскости Oxy, равны (-4, 2, 0).

г) Найти скалярное произведение векторов a = (2, 3, -1) и b = (4, -2, 5).
Ответ: Скалярное произведение векторов a и b равно 2*4 + 3*(-2) + (-1)*5 = 8 - 6 - 5 = -3.

д) Найдите уравнение сферы с центром в точке C(1, -2, 3) и радиусом R = 5.
Ответ: Уравнение сферы с центром в точке C(1, -2, 3) и радиусом R = 5: (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить эти концепции, рекомендуется решать больше практических задач и проводить графические иллюстрации для визуализации геометрических операций.

Задача на проверку: Найдите координаты точки M2, если точки A(-3, 5, 1) и B(1, -2, 3) являются симметричными относительно точки M2.