Периметр треугольника ABC составляет 3 см, а периметр треугольника DEF - 5 см. Докажите, что периметр шестиугольника

PKA, удвоенный периметр треугольника KDL, удвоенный периметр треугольника LBM, удвоенный периметр треугольника MEN, удвоенный периметр треугольника NCR и удвоенный периметр треугольника RFP.
3. Запишите неравенства, используя неравенства для сторон треугольников и заданные периметры.
4. Упростите неравенства, складывая одинаковые слагаемые и удаляя удвоенные периметры.
5. Покажите, что полученное неравенство имеет вид: "Половина суммы длин сторон шестиугольника PKLMNR меньше суммы периметров треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP".
6. Подставьте значения периметров треугольников в полученное неравенство и упростите его.
7. Укажите, что получившаяся сумма периметров треугольников больше половины суммы сторон шестиугольника PKLMNR.
8. Выведите заключение, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 4 см, поскольку половина суммы его сторон меньше, чем полученная сумма периметров треугольников.
Совет: Чтобы понять и решить данную задачу, важно владеть знаниями о периметре треугольника и шестиугольника, а также уметь проводить математические выкладки, складывать и упрощать выражения.
Задача на проверку: Решите, пользуясь таким же подходом, задачу с более сложными числами: Периметр треугольника ABC составляет 7 см, а периметр треугольника DEF - 9 см. Докажите, что периметр шестиугольника GHIJKLM меньше 8 см.

PKL и удвоенный периметр треугольника DEF.
3. Так как периметр треугольника ABC составляет 3 см, каждая из его сторон должна быть меньше 3 см. Таким образом, мы можем записать неравенства:
PA + AK < 3, KD + DL < 3, LB + BM < 3, ME + EN < 3, NC + CR < 3, RF + FP < 3.
4. Теперь сложим выражения в левой части каждого неравенства и выражение в левой стороне после сложения (которое равно удвоенному периметру треугольника DEF):
PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP < DEF * 2.
5. Учитывая, что периметр треугольника DEF составляет 5 см, мы можем заменить его в неравенстве:
PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP < 5 * 2.
6. Упростим неравенство:
PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP < 10.
7. Поскольку сумма длин сторон шестиугольника PKLMNR составляет периметр шестиугольника, который является суммой длин сторон треугольников PKL, KLM, LMN, MNR, NRP и PK, мы можем записать:
PK + KL + LM + MN + NR + RP = PKL + KLM + LMN + MNR + NRP + PK < PA + AK + KD + DL + LB + BM + ME + EN + NC + CR + RF + FP < 10.
8. Таким образом, мы доказали, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 4 см.

Пример использования:
Учитель: Докажите, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 4 см, если периметр треугольника ABC составляет 3 см, а периметр треугольника DEF - 5 см.
Ученик: Ну, для начала мы можем провести рассмотрение на треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP и записать неравенства для их сторон. После этого мы можем сложить выражения в левой части каждого неравенства и выражение в левой стороне после сложения (которое равно удвоенному периметру треугольника DEF). Затем мы заменяем периметр треугольника DEF и упрощаем неравенство. В итоге получаем, что сумма длин сторон шестиугольника PKLMNR меньше 10. И так как сумма длин его сторон равна периметру шестиугольника, то периметр PKLMNR меньше 10.