Необходимо доказать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM являются перпендикулярными. При этом M – середина

Тема: Доказательство перпендикулярности векторов с помощью скалярного произведения

Объяснение: Для доказательства перпендикулярности отрезков AC и DM в прямоугольнике ABCD можно воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Для начала, нам потребуется найти векторы AC и DM.

Обозначим точку M как середину отрезка BC. Поскольку AB и BC - стороны прямоугольника, то AB || CD и BC || DA. Это позволяет нам использовать свойства параллелограмма. Таким образом, справедливо, что вектор AB = вектор CD и вектор BC = вектор DA.

Длина AB равна 1, а длина BC равна √2, исходя из условия задачи. Рассмотрим вектор AC, исходя из свойств параллелограмма, это вектор AB + вектор BC.

AC = AB + BC = (1, 0) + (√2, 0) = (1+√2, 0)

Теперь найдем вектор DM, где M - середина отрезка BC. Длина BM равна половине длины BC, то есть √2/2.

DM = BM = (0, 0) + (√2/2, 0) = (√2/2, 0)

Теперь применим свойство скалярного произведения. Для двух перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю.

AC · DM = (1+√2, 0) · (√2/2, 0) = (1+√2) * (√2/2) + 0 * 0 = (1+√2)*√2/2 = (1+√2)*(√2/2) = (√2+2)/2 = (√2/2) + 1 = 1 + (√2/2)

Таким образом, скалярное произведение векторов AC и DM не равно нулю, а равно 1 + (√2/2). Следовательно, векторы AC и DM не являются перпендикулярными.

Совет: При решении подобных задач, связанных с использованием скалярного произведения, важно тщательно расписывать каждый шаг и быть внимательным при вычислениях.

Ещё задача: Даны векторы AB = (1, 2) и CD = (-3, 1). Доказать, что векторы AB и CD перпендикулярны, используя скалярное произведение.

Тема: Доказательство перпендикулярности отрезков в прямоугольнике

Объяснение: Чтобы доказать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными в прямоугольнике ABCD, мы будем использовать скалярное произведение векторов.

1. Первым шагом обратимся к свойству скалярного произведения, которое гласит, что два вектора перпендикулярны друг другу, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

2. Для начала найдем вектор AC. Расположение точек A и C позволяет нам вычислить этот вектор, используя координаты точек. Так как A и C лежат на одной горизонтальной линии, координата y у них одинаковая. Поэтому вектор AC можно записать как (Сx - Ax , 0).

3. Теперь найдем вектор DM. Для этого нам понадобятся координаты точек D и M. Середина отрезка BC - это точка M, а координата y у точек D и M также одинаковая. Таким образом, вектор DM можно записать как (Mx - Dx , 0).

4. Теперь рассчитаем скалярное произведение векторов AC и DM. Найдем их скалярное произведение по формуле: AC · DM = (Сx - Ax) * (Mx - Dx) + 0 * 0 = (Сx - Ax) * (Mx - Dx).

5. По условию задачи, AB = 1, а BC = √2. Поэтому легко вычислить координаты точек A, B и C. Вставим эти значения в наше скалярное произведение.

6. Получим AC · DM = (√2 - 0) * (0 - 1) = -√2. Так как скалярное произведение равно -√2, а не нулю, то отрезки AC и DM не являются перпендикулярными в прямоугольнике ABCD.

Например:
Задан прямоугольник ABCD, где AB = 1, BC = √2. В этом прямоугольнике найдите отрезки AC и DM. Являются ли они перпендикулярными?

Совет:
Когда решаете подобные задачи о доказательстве перпендикулярности, обратите внимание на скалярное произведение векторов и использование координат точек. Знание этих концепций поможет вам правильно построить и выполнить доказательство.

Дополнительное упражнение:
Дан прямоугольник EFGH, где EF = 5 и FG = 12. Найдите скалярное произведение векторов EH и FG. Являются ли они перпендикулярными?