Необходимо доказать, что точки a, b, m и n являются конкурентными точками окружности в равнобедренном треугольнике

Содержание: Конкурентные точки в равнобедренных треугольниках

Пояснение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB мы проводим медиану AM, где M - середина стороны BC. Также проводим высоту BN, где N - точка пересечения высоты со стороной AC. Покажем, что точки A, B, M и N являются конкурентными.

Пусть P - точка пересечения отрезков AM и BN. Для доказательства конкурентности, нам нужно показать, что они лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольник ABP. Так как AB = AB (так как это равнобедренный треугольник), и AM = MB, то по стороне-стороне-стороне треугольники ABP и AMP равны. Это означает, что угол ABP равен углу AMP.

Рассмотрим треугольник BCP. Так как BN - это высота, а BC = BC (так как это равнобедренный треугольник), то треугольники BCP и BCN равны по стороне-противолежащему углу. Это означает, что угол BCP равен углу BCN.

Внутренний и внешний углы ABP и BCP образуют смежные углы, поэтому они дополняют друг друга до 180 градусов.

Таким образом, угол ABP + угол BCP = угол AMP + угол BCN = 180 градусов.

По теореме об описанной окружности, если сумма двух углов равна 180 градусов, то точки лежат на одной окружности.

Следовательно, точки A, B, M и N являются конкурентными точками окружности в равнобедренном треугольнике ABC.

Например:
Нарисуйте равнобедренный треугольник ABC с основанием AB и проведите медиану AM и высоту BN. Покажите, что точки A, B, M и N лежат на одной окружности.

Совет: Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, и высота, проведенная из вершины к основанию, пересекаются на окружности, описанной вокруг треугольника. Знание этого факта поможет в доказательстве конкурентности точек.

Задание:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена медиана AM. На стороне AC есть точка D такая, что угол DAB равен 60 градусов. Докажите, что точка D лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.