Необходимо доказать, что четырехугольник abcd является параллелограммом при условии, что векторы dc равны сумме

Содержание: Доказательство параллелограмма по векторам

Описание:

Если мы хотим доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы должны установить, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Пусть A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) и D(x₄, y₄) - координаты точек A, B, C и D соответственно.

Вектор DC (вектор, направленный от точки D к точке C) можно выразить через координаты вектора DC следующим образом: DC = (x₃ - x₄, y₃ - y₄).

Аналогично, вектор AP (вектор, направленный от точки A к точке P) задается следующим образом: AP = (x - x₁, y - y₁), где (x, y) - координаты произвольной точки Р.

И вектор XB (вектор, направленный от точки X к точке B) может быть представлен как XB = (x₂ - x, y₂ - y).

Теперь, если вектор DC равен сумме векторов AP и XB, это значит, что DC = AP + XB и следовательно (x₃ - x₄, y₃ - y₄) = (x - x₁, y - y₁) + (x₂ - x, y₂ - y).

Раскрывая скобки и группируя по координатам, мы получим: (x₃ - x₄, y₃ - y₄) = (x - x + x₂ - x₁, y - y + y₂ - y₁), что в свою очередь приводит к следующим равенствам:
(x₃ - x₄, y₃ - y₄) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁).

Таким образом, мы доказали, что вектор DC равен вектору AB, и соответственно стороны AB и CD параллельны. Аналогичным образом мы можем доказать, что AD и BC также параллельны.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Доп. материал:
Пусть A(2, 3), B(-1, 4), C(4, 7) и D(7, 6). Найти точку P такую, что вектор DC равен сумме векторов AP и XB.

Совет:
Когда вы доказываете, что четырехугольник является параллелограммом, постарайтесь последовательно разложить векторы на координаты и показать равенство соответствующих компонент.

Дополнительное упражнение:
Даны координаты точек A(1, 2), B(4, 6), C(7, 10) и D(10, 14). Найти точку P такую, что вектор DC равен сумме векторов AP и XB.