Площадь треугольника AMK на окружности
Найти площадь треугольника AMK, где точка А лежит на окружности радиуса r, ам - касательная к окружности, KL - секущая
Найти площадь треугольника AMK, где точка А лежит на окружности радиуса r, ам - касательная к окружности, KL - секущая, пересекающая окружность в точках K и L. Точка L - середина отрезка AK, и угол AMK равен 45 градусов. Запишите ответ в виде s/r^2(√3-1).
10.12.2023 16:32
Написать свой ответ:
Объяснение: Для нахождения площади треугольника AMK, данного на окружности, мы можем использовать свойство треугольников, образованных на окружности.
Первым шагом, обратимся к свойству, что угол, образованный хордой KL и касательной AM, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу KL, то есть уголу AKL. Так как угол AMK равен 45 градусам, угол AKL также равен 45 градусам.
Далее, обратимся к свойству, что угол, образованный хордой KL и касательной AM, равен полусумме измерений дуг, опирающихся на ту же хорду KL, то есть на дуги AL и KL. Так как угол AKL равен 45 градусам, каждая из этих дуг будет иметь измерение 90 градусов.
Теперь мы можем рассмотреть треугольник AKL, в котором угол AKL равен 45 градусам, дуга AL равна 90 градусам и дуга KL также равна 90 градусам. Так как угол AKL равен 45 градусам, мы можем сказать, что треугольник AKL - прямоугольный треугольник.
Отсюда следует, что площадь треугольника AMK равна половине произведения сторон AK и KL: s = (1/2) * AK * KL.
Так как фигура, образованная точками ALK, - треугольник равносторонний, мы знаем, что KL равно AL, и известно, что AL = 2 * r * sin(45 градусов) = r * √2.
Таким образом, площадь треугольника AMK равна s = (1/2) * AK * KL = (1/2) * 2 * r * √2 * r = r^2 * √2.
Окончательный ответ в требуемом виде: s/r^2(√3-1).
Пример использования:
Задача: Дана окружность радиуса 5 см. Найдите площадь треугольника AMK, если угол AMK равен 60 градусов.
Решение:
Дано: r = 5 см, угол AMK = 60 градусов.
Сначала найдем длину стороны AK. Так как угол AKL равен 60 градусам, каждая из дуг AL и KL будет равна 120 градусам.
Длина дуги AL = (120/360) * 2 * π * 5 см = 4π см.
Таким образом, длина стороны AK = 2 * AL = 8π см.
Теперь найдем площадь треугольника AMK, используя формулу: s = r^2 * √2.
s = (5 см)^2 * √2 = 25 см^2 * √2.
Ответ: площадь треугольника AMK равна 25 см^2 * √2.
Совет: Чтобы понять данную задачу лучше, полезно рассмотреть свойства треугольников, образованных на окружности, а также свойства прямоугольных треугольников. Также стоит обратить внимание на углы, образованные хордой KL и касательной AM.
Упражнение: Дана окружность радиусом 7 см. Найдите площадь треугольника AMK, если угол AMK равен 30 градусов.