Найдите значение косинуса угла наклона отрезка ав к плоскости, если ортогональная проекция этого отрезка на плоскость

Тема занятия: Косинус угла наклона отрезка к плоскости

Описание:

Для нахождения значения косинуса угла наклона отрезка к плоскости, нам необходимо знать значения координат точек начала и конца отрезка, а также уравнение плоскости.

Пусть начальная точка отрезка обозначается как A(x₁, y₁, z₁), конечная точка обозначается как B(x₂, y₂, z₂), а уравнение плоскости обозначается как ax + by + cz + d = 0.

Шаги для нахождения значения косинуса угла наклона:

1. Найдите векторное представление отрезка AB: AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
2. Найдите нормальный вектор плоскости w: w = (a, b, c).
3. Найдите скалярное произведение вектора AB и нормального вектора плоскости w: AB · w = (x₂ - x₁)(a) + (y₂ - y₁)(b) + (z₂ - z₁)(c).
4. Найдите длину проекции отрезка AB на плоскость w: ||AB|| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²].
5. Найдите значение косинуса угла наклона: cosθ = (AB · w) / (||AB||).

Например:

Задача: Найдите значение косинуса угла наклона отрезка AB к плоскости w, если координаты точки A равны (2, 3, -1), координаты точки B равны (5, -2, 4), а уравнение плоскости w имеет вид 2x + 3y - z = 6.

Решение:
1. AB = (5 - 2, -2 - 3, 4 - (-1)) = (3, -5, 5).
2. w = (2, 3, -1).
3. AB · w = (3)(2) + (-5)(3) + (5)(-1) = 6 - 15 - 5 = -14.
4. ||AB|| = √[(3)² + (-5)² + (5)²] = √(9 + 25 + 25) = √59.
5. cosθ = -14 / √59 ≈ -0.898.

Совет:

Для лучшего понимания материала по геометрии и векторам рекомендуется ознакомиться с основными понятиями, такими как векторы, скалярное и векторное произведение, а также уравнения плоскости. Используйте геометрические изображения и рисунки, чтобы визуализировать задачу и лучше понять геометрические связи между объектами.

Задача для проверки:

Найдите значение косинуса угла наклона отрезка CD к плоскости w, если координаты точки C равны (-1, 2, 3), координаты точки D равны (4, -2, 5), а уравнение плоскости w имеет вид 3x + 4y - 2z = 10.