Найдите угол, образованный плоскостью α, проведенной через сторону MNPQ ромба, и плоскостью ромба

Тема: Угол между плоскостями

Пояснение: Чтобы найти угол, образованный двумя плоскостями, нужно знать их нормали. Для плоскости ромба, можно взять любую сторону ромба и найти векторное произведение этих двух сторон ромба. Это будет нормалью плоскости. Затем нужно найти нормаль плоскости α.
Для нахождения нормали плоскости α, можно взять две любые различные прямые, пересекающиеся на плоскости α, и найти векторное произведение этих двух прямых. Этот вектор будет нормалью плоскости α. После того, как у нас есть две нормали плоскостей, можно использовать формулу для нахождения угла между ними:
cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|)
где n1 и n2 - нормали плоскостей, * - векторное произведение, а | | - модуль вектора.

Дополнительный материал: Пусть сторона ромба MNPQ задана векторами a = (2, 3, 1) и b = (4, 1, 2), а плоскость α задана прямыми m1: x + y - 2z = 0 и m2: x - y + 4z = 1.
Найдем нормаль плоскости ромба:
n1 = a × b = (2, 3, 1) × (4, 1, 2) = (5, -6, -10)
Найдем нормаль плоскости α:
n2 = m1 × m2 = (1, 1, -2) × (1, -1, 4) = (3, 3, 2)
Теперь найдем угол между плоскостями:
cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|) = ((5, -6, -10) * (3, 3, 2)) / (sqrt(5^2 + (-6)^2 + (-10)^2) * sqrt(3^2 + 3^2 + 2^2)) = -2/3
θ = arccos(-2/3) ≈ 131.8°

Совет: Важно быть внимательным при вычислениях векторных произведений и скалярных произведений нормалей плоскостей. Также полезно знать, что угол между плоскостями может быть либо острый, либо тупой. Это можно определить путем анализа знака значения cos(θ). Знак "-" означает, что угол тупой, знак "+" означает, что угол острый.

Упражнение: Даны две плоскости: P1 с нормалью n1 = (1, -2, 3) и P2 с нормалью n2 = (2, 4, 6). Найдите угол между этими плоскостями.

Тема занятия: Угол между плоскостями

Описание:
Угол между двумя плоскостями можно найти, используя нормали обеих плоскостей. Нормаль - это перпендикуляр, проведенный из начала координат к плоскости. Пусть плоскости α и ромб имеют нормали n1 и n2 соответственно. Тогда угол между плоскостями можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| * |n2|),

где · обозначает скалярное произведение, а |n1| и |n2| - длины векторов. Угол θ найден в радианах, поэтому, если вам нужно значение в градусах, преобразуйте его, умножив на (180/π).

Пример:
Пусть плоскость α имеет нормаль (1, 2, 3), а плоскость ромба - (4, 5, 6). Чтобы найти угол между этими плоскостями, мы должны сначала вычислить длины нормалей:

|n1| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14,
|n2| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √77.

Затем находим скалярное произведение:

n1 · n2 = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32.

Подставляем все в формулу:

cos(θ) = 32 / (√14 * √77) ≈ 0.886.

Теперь можем найти угол θ в радианах:

θ = arccos(0.886) ≈ 0.470.

Совет:
Важно правильно определить нормали обеих плоскостей для получения корректного ответа. Убедитесь, что векторы нормалей имеют правильные координаты.

Задание для закрепления:
Найдите угол между плоскостью x - 2y + 3z = 4 и плоскостью 2x - 4y + 6z = 8.