Найдите координаты векторов AC и AD, а также модули векторов AC и AD. Найдите координаты вектора EF = 3AC

Векторы и их свойства:

Объяснение: Вектор - это математический объект, который имеет величину (модуль) и направление. Он может быть представлен в виде упорядоченной пары или тройки чисел, называемых его координатами.

Для нахождения координат векторов AC и AD, нужно вычислить разность координат соответствующих точек. Так как вектор задается разностью координат двух точек, чтобы найти координаты вектора AC, нужно вычесть координаты точки A из координат точки C. Аналогично, чтобы найти координаты вектора AD, нужно вычесть координаты точки A из координат точки D.

Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле:

|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где x1, y1 и x2, y2 - координаты начальной и конечной точек вектора.

Для нахождения вектора EF, который является линейной комбинацией векторов AC и AD, нужно умножить каждый из векторов на соответствующий коэффициент и сложить результаты.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

AB * CD = A_x * B_x + A_y * B_y

где A_x, A_y и B_x, B_y - координаты векторов A и B.

Косинус угла между векторами AC и AD вычисляется через скалярное произведение и модули векторов:

cosθ = (AC * AD) / (|AC| * |AD|)

Например:
Дано:
A(2, 1), C(4, 6), D(7, -3)

1. Найдем координаты векторов AC и AD:
AC = (4 - 2, 6 - 1) = (2, 5)
AD = (7 - 2, -3 - 1) = (5, -4)

2. Найдем модули векторов AC и AD:
|AC| = sqrt((2 - 2)^2 + (5 - 1)^2) = sqrt(16) = 4
|AD| = sqrt((5 - 2)^2 + (-4 - 1)^2) = sqrt(50) ≈ 7.07

3. Найдем вектор EF = 3AC - 2AD:
EF = 3(2, 5) - 2(5, -4) = (6, 15) - (10, -8) = (-4, 23)

4. Найдем скалярное произведение векторов AC и AD:
AC * AD = (2 * 5) + (5 * -4) = 10 - 20 = -10

5. Найдем косинус угла между векторами AC и AD:
cosθ = (-10) / (4 * 7.07) ≈ -0.446

Совет: Чтобы лучше понять концепцию векторов и выполнять подобные задачи, рекомендуется изучить основы математического анализа, геометрии и алгебры. Также полезно ознакомиться с примерами и различными способами решения задач связанных с векторами.

Дополнительное упражнение: Найдите координаты векторов AB и BC, а также модули векторов AB и BC, если дано:
A(3, 2), B(5, 8), C(9, -4).