На изображении 123 представлен четырехугольник ABCD, в котором AB = BC = CD = DA. 2) Подтвердите утверждение, что

Тема занятия: Свойства квадрата

Пояснение:

1) Первое изображение изображает квадрат ABCD, у которого все стороны равны (AB = BC = CD = DA).

2) Чтобы подтвердить утверждение, что BF = DF, рассмотрим, что диагонали квадрата пересекаются в точке F. Так как квадрат является фигурой симметрии, то диагонали равны между собой и делятся пополам. Поэтому, по свойству симметрии, BF = DF.

3) Чтобы доказать, что BD является перпендикуляром AC, рассмотрим, что в квадрате диагонали перпендикулярны. Так как BD и AC - это диагонали квадрата ABCD, то они перпендикулярны друг другу.

4) Чтобы подтвердить утверждение, что точка F находится на одинаковом расстоянии от сторон AB и CD, рассмотрим, что в каждом квадрате точка пересечения диагоналей делит диагонали на две равные части. Так как F - точка пересечения диагоналей ABCD, то она находится на одинаковом расстоянии от сторон AB и CD.

Дополнительный материал:

На изображении ABCD - квадрат со сторонами длиной 10 см. Найдите длину отрезка BF.

Совет:

Чтобы лучше понять свойства квадрата, нарисуйте его на бумаге и проведите диагонали. Затем анализируйте взаимное расположение сторон и точек пересечения.

Проверочное упражнение:

1) В квадрате со стороной 6 см, найдите длину отрезка DF.

2) Докажите, что точка E, медиана квадрата ABCD, является перпендикуляром сторон AB и CD.

3) Найдите длину отрезка AC в квадрате со стороной 12 см.

Название: четырехугольник ABCD

Объяснение: Дано, что четырехугольник ABCD изображен на рисунке 123 и стороны AB, BC, CD, DA равны между собой.

1) Для того чтобы подтвердить, что BF=DF, рассмотрим треугольники ABF и DCF. У них общая гипотенуза CD, и AB=CD, поскольку сторони равны в четырехугольнике ABCD. Также из изначальных условий известно, что AB=BC. Так как два треугольника имеют равные катеты, то они будут равными и по гипотенузе по свойству равных треугольников, т.е. можно сказать, что ABF и DCF равносторонние треугольники, и соответствующие углы равны. А это означает, что угол BAF равен углу CDF. По свойству парных углов, угол BFA равен углу FCD. Заметим, что треугольники ABF и ADF имеют одинаковые стороны AB и AF, и равные углы BAF и FAD, следовательно по свойству равных треугольников остальные их стороны и углы равны, в том числе и сторона BF=DF.

2) Чтобы доказать, что BD является перпендикуляром AC, рассмотрим треугольники ABC и BCD. У них общая сторона BC и сторона AB=CD, поскольку стороны равны в четырехугольнике ABCD. Также из предыдущего утверждения мы знаем, что сторона BF=DF. Так как два треугольника имеют равные стороны, а также стороны, стоящие под равными углами, то можно сказать, что ABC и BCD равны, и соответствующие углы равны. По свойству равносильных углов треугольников, угол ABC и угол BCD являются равносильными, а значит, AB и CD параллельны. Следовательно, из определения перпендикуляра, BD является перпендикуляром AC.

3) Чтобы подтвердить, что точка F находится на одинаковом расстоянии от углов ABC и CDA, допустим, что точка F находится на отрезке BC. Так как AB = BC, то отрезок AF является медианой треугольника ABC и перпендикуляром к стороне BC. А также, по предыдущим утверждениям, угол BFA равен углу FCD. Заметим, что треугольники ABF и CDF имеют одинаковые стороны AB и CD, и равные углы FAB и FDC, следовательно по свойству равных треугольников остальные их углы равны, в том числе угол BAF=DCF. Также треугольник ABF равнобедренный, а значит отрезок AF является высотой и медианой треугольника ABC. Получаем, что точка F находится на одинаковом расстоянии от углов ABC и CDA.

Пример: На рисунке 123 изображен четырехугольник ABCD, в котором AB = BC = CD = DA. Докажите, что BF = DF.

Совет: Для решения такого рода задач полезно использовать свойства равных треугольников и парных углов.

Задание: На рисунке 123 изображен четырехугольник ABCD с равными сторонами AB = BC = CD = DA. Докажите, что угол BDA равен углу BCD.