КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2 Треугольники 1. На рис. 165 докажите, что треугольники ARST и ANLM равны, если ST = ML = 5

Треугольники:
1. Разъяснение: Чтобы доказать, что треугольники ARST и ANLM равны, мы должны использовать несколько фактов о треугольниках и углах. Сначала заметим, что равные стороны ST и ML указывают на равные углы A и N, так как они лежат напротив этих сторон. Затем, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти угол S и угол M. Уголы ZT и ZM указывают на равные углы R и L, так как они являются вертикальными углами. И, наконец, у нас есть углы A, N, R и L, которые являются соответственными углами двух пар равных треугольников. Исходя из этих фактов, мы можем заключить, что треугольники ARST и ANLM равны.
Доп. материал: Сначала рассмотрим стороны ST и ML, которые равны 5 см. Затем, используя угол ZT и угол ZM, которые равны 20°, мы можем найти углы A и N. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти углы S и M. Используя факт о соответственных углах, мы заключаем, что треугольники ARST и ANLM равны.

2. Разъяснение: Чтобы найти значение AB, нам нужно использовать факты о треугольниках и углах. Основываясь на информации из рисунка и задачи, мы знаем, что угол GB равен 2D, GB = 2D и BD = DC - 6. Исходя из этих фактов, мы можем использовать законы синусов и косинусов, чтобы найти значение AB.
Доп. материал: В ситуации, когда GB = 91°, BD = 12 см, DC = 11 см и во = 6 см, нам не хватает информации, чтобы однозначно найти значение AB.

3. Разъяснение: Если периметр равнобедренного треугольника равен 97 см, и основание больше боковой стороны на 4 см, тогда мы можем использовать математическое уравнение, чтобы найти длины сторон треугольника. Пусть x - длина боковой стороны треугольника, тогда длина основания будет равна x + 4. Таким образом, мы можем составить уравнение: x + x + x + 4 = 97. Решив это уравнение, мы найдем длины сторон равнобедренного треугольника.
Доп. материал: Рассмотрим ситуацию, когда периметр равнобедренного треугольника равен 97 см и основание больше боковой стороны на 4 см. Решим уравнение x + x + x + 4 = 97, чтобы найти длины сторон треугольника.

4. Разъяснение: Чтобы доказать, что угол ZB равен углу 2C в треугольнике ABC с периметром 51 см, AB = 18 см и ВС: AC = 5:6, нам не хватает информации. Даже с учетом данного соотношения со сторонами треугольника, нам нужно знать какое-то значение угла или отношение между другими углами треугольника. Таким образом, мы не можем доказать, что угол ZB равен углу 2C без дополнительной информации.
Доп. материал: Мы не можем привести пример использования для этой задачи, так как нам не хватает необходимой информации для ее решения.

5. Разъяснение: Для доказательства, что луч CD является биссектрисой угла АСв, нам нужно использовать факты об углах и свойства равностороннего треугольника. Допустим, что угол ACS = угол ASD = угол CSD = x. Затем, используя соотношение углов равностороннего треугольника, мы можем определить значения других углов в треугольнике. Из соотношений углов, мы можем доказать, что луч CD является биссектрисой угла АСв.
Доп. материал: В данном случае, нам нужно знать значения углов треугольника АВС или свойства равностороннего треугольника для использования примера.

Треугольники:

1. Доказательство равенства треугольников ARST и ANLM:

Для доказательства равенства треугольников ARST и ANLM мы можем использовать критерий равенства треугольников SSS (сторона-сторона-сторона). Данный критерий гласит, что если соответствующие стороны двух треугольников равны, то эти треугольники равны.

В данном случае, у нас есть следующие равенства:
ST = ML = 5 см - стороны
RT = MN = 8 см - стороны
ZT = ZM = 20° - углы

Таким образом, мы можем заявить, что треугольники ARST и ANLM равны, так как все их соответствующие стороны и углы равны.

2. Нахождение значения AB:

Для нахождения значения AB нам нужно использовать теорему синусов. Данная теорема устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и синусами соответствующих углов.

В данном случае у нас есть следующие данные:
GB = 2D = 91° - углы
BD = 12 см - сторона
DC = 11 см - сторона

Согласно теореме синусов, мы можем записать отношение следующим образом:

sin(GB) / BD = sin(2D) / DC

Подставляя известные значения, получим:

sin(91°) / 12см = sin(182°) / 11см

Зная, что sin(91°) = sin(89°) (так как sin(180° - x) = sin(x)), мы можем переписать уравнение как:

sin(89°) / 12см = sin(182°) / 11см

Решая это уравнение, мы найдем значение AB.

3. Нахождение сторон равнобедренного треугольника:

Пусть x - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, тогда основание будет равно x + 4 см, так как основание больше боковой стороны на 4 см.

Периметр равнобедренного треугольника с основанием x + 4 см и боковой стороной x может быть выражен следующим образом:

P = x + x + x + 4 см = 97 см

Решая это уравнение, мы найдем значения сторон равнобедренного треугольника.

4. Доказательство равенства углов в треугольнике ABC:

Для доказательства равенства углов в треугольнике ABC можно использовать критерий равенства треугольников SAS (сторона-угол-сторона). Этот критерий устанавливает, что если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

У нас есть следующие данные:
AB = 18 см - сторона
BC: AC = 5:6 - отношение сторон
Угол ZB равен углу 2C - углы

Таким образом, мы можем заявить, что треугольник ABC удовлетворяет критерию равенства треугольников SAS, следовательно, угол ZB равен углу 2C.

5. Доказательство биссектрисы угла ACB:

Для доказательства, что луч CD является биссектрисой угла ACB, мы можем использовать критерий равенства треугольников SAS (сторона-угол-сторона) или критерий равенства треугольников AAS (угол-угол-сторона).

Для простоты докажем с помощью критерия AAS.

У нас есть следующие данные:
Точка D лежит внутри равностороннего треугольника АВС
AD - сторона
Треугольник АВС равносторонний
Угол CDL = Угол LDC

Таким образом, мы можем заявить, что треугольник CDL и LDC удовлетворяет критерию равенства треугольников AAS. Следовательно, луч CD является биссектрисой угла ACB.

Советы:
- Упражняйтесь в решении треугольников разной сложности, чтобы лучше понять свойства и критерии равенства треугольников.
- Для доказательства равенства треугольников удобно использовать соответствующие свойства и теоремы.

Задание для закрепления:
Даны два треугольника, ABX и XYZ. Сторона AB треугольника ABX равна 8 см, угол X равен 40°. Сторона XY треугольника XYZ равна 10 см, угол Y равен 40°. Докажите, что треугольники ABX и XYZ равны.