Какой угол образуют плоскость ABCD и плоскость AB1C1D, если в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сторона

Суть вопроса: Угол между двумя плоскостями в прямоугольном параллелепипеде

Разъяснение: Для определения угла между плоскостями ABCD и AB1C1D в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать векторное произведение.

Сначала найдем нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ABCD будет векторным произведением векторов AB и AD. Таким образом, получаем нормаль N1 = AB x AD.

Нормаль к плоскости AB1C1D будет векторным произведением векторов AB1 и AD1. Таким образом, получаем нормаль N2 = AB1 x AD1.

Заметим, что два нормированных вектора создают угол α между ними, который можно найти с помощью следующей формулы: α = arccos(|N1 • N2|), где |N1 • N2| - скалярное произведение нормалей N1 и N2.

Таким образом, угол α между плоскостями ABCD и AB1C1D равен α = arccos(|N1 • N2|).

Пример: Давайте рассчитаем угол между плоскостями ABCD и AB1C1D, используя предоставленные данные.

Для начала найдем нормали N1 и N2. Вектор AB = (0, 10, 0), вектор AD = (6, 0, 0), вектор AB1 = (0, 10, 1), вектор AD1 = (6, 0, 1).

N1 = (0, 10, 0) x (6, 0, 0) = (0, 0, -60)

N2 = (0, 10, 1) x (6, 0, 1) = (10, -6, 0)

Теперь вычислим скалярное произведение |N1 • N2| = |(0, 0, -60) • (10, -6, 0)| = |-360| = 360

Наконец, вычислим угол α = arccos(360) = 1.047 радиан или примерно 60 градусов.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, важно разобраться с векторным произведением и скалярным произведением векторов, а также с использованием формулы arccos(). Проанализируйте каждый шаг решения задачи, чтобы увидеть, как нормали к плоскостям были найдены и каким образом они использовались для вычисления угла между плоскостями.

Проверочное упражнение: Найдите угол между плоскостями, если в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сторона AD равна 8, сторона BD равна 12, а отрезок CC1 равен 4.