Какой острый угол образует отрезок VB с плоскостью? Какое расстояние от концов отрезка до плоскости? На какие отрезки

Содержание: Геометрия. Острый угол между отрезком и плоскостью.

Пояснение:
Для того чтобы определить острый угол между отрезком VB и плоскостью, мы должны воспользоваться понятием скалярного произведения векторов.

Пусть V - начало отрезка VB, B - его конец, и плоскость задана своим уравнением. Вектор VB его можно найти, используя координаты начала и конца отрезка:

VB = B - V.

Затем нам нужно найти вектор, перпендикулярный плоскости. Перпендикулярный вектор можно легко найти из уравнения плоскости. Обозначим этот вектор как N.

Затем мы используем формулу для вычисления острого угла между векторами:

cos(θ) = (VB · N) / (|VB| * |N|),

где VB · N обозначает скалярное произведение векторов VB и N, а |VB| и |N| - их модули.

Обратите внимание, что если мы получим отрицательное значение, следует взять его модуль.

Доп. материал:
Допустим, V = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6), и уравнение плоскости имеет вид: 2x - 3y + 4z - 5 = 0.

1. Вычисляем вектор VB: VB = B - V = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3).
2. Находим вектор N, используя коэффициенты в уравнении плоскости: N = (2, -3, 4).
3. Подставляем значения в формулу cos(θ) = (VB · N) / (|VB| * |N|): cos(θ) = (3*2 + 3*(-3) + 3*4) / (√(3² + 3² + 3²) * √(2² + (-3)² + 4²)).
4. Получаем значение cos(θ) и находим θ, используя арккосинус.

Совет: Для того чтобы правильно понять и научиться решать задачи на острый угол между отрезком и плоскостью, важно хорошо усвоить понятие скалярного произведения и его свойства.

Задание для закрепления:
Дан отрезок VS с координатами V(1, 2, -1) и S(3, 1, 4). Найдите острый угол между отрезком VS и плоскостью с уравнением 3x + 2y - 4z + 5 = 0. Какое расстояние от точек V и S до плоскости? На какие отрезки делится отрезок VS точкой O? Сколько составляет длина каждого из этих отрезков?