Каковы значения периметра и угла треугольника, заданного вершинами a (3,7,-4), b (5,-3,2), c (1,3,10)?

Суть вопроса: Нахождение периметра и углов треугольника в трехмерном пространстве.

Пояснение: Для нахождения периметра треугольника в трехмерном пространстве нужно вычислить длины его сторон. Для этого можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Длина стороны AB равна: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Длина стороны BC равна: √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)

Длина стороны AC равна: √((x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2 + (z1 - z3)^2)

Зная длины всех сторон, периметр треугольника равен сумме длин сторон: AB + BC + AC.

Для нахождения углов треугольника в трехмерном пространстве, можно воспользоваться косинусной теоремой:

cos(α) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)
cos(β) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
cos(γ) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)

Угол α - между сторонами AB и AC, угол β - между сторонами AB и BC, угол γ - между сторонами BC и AC.

Например: Для данного треугольника со значениями вершин a(3,7,-4), b(5,-3,2), c(1,3,10):

Длина стороны AB:
√((5 - 3)^2 + (-3 - 7)^2 + (2 - (-4))^2) = √(2^2 + (-10)^2 + 6^2) = √(4 + 100 + 36) = √140

Длина стороны BC:
√((1 - 5)^2 + (3 - (-3))^2 + (10 - 2)^2) = √((-4)^2 + 6^2 + 8^2) = √(16 + 36 + 64) = √116

Длина стороны AC:
√((3 - 1)^2 + (7 - 3)^2 + (-4 - 10)^2) = √(2^2 + 4^2 + (-14)^2) = √(4 + 16 + 196) = √216 = 6√6

Периметр треугольника: AB + BC + AC = √140 + √116 + 6√6

Для нахождения углов треугольника, нужно подставить значения сторон в формулы для cos(α), cos(β) и cos(γ).

Совет: Для лучшего понимания, можно нарисовать треугольник в трехмерном пространстве и визуализировать значения его вершин.

Дополнительное упражнение: Найдите значения периметра и углов треугольника с вершинами a(1,1,1), b(2,3,4), c(5,-1,-2). Предоставьте пошаговое решение.

Треугольник.

Инструкция: Чтобы найти периметр треугольника, нужно вычислить длины его сторон. Для этого можно использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Дан треугольник с вершинами a (3,7,-4), b (5,-3,2), c (1,3,10). Вычислим длины сторон:
- Сторона AB: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
AB = √((5 - 3)² + (-3 - 7)² + (2 - (-4))²) = √(2² + (-10)² + 6²) = √(4 + 100 + 36) = √140 = 2√35
- Сторона BC: BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
BC = √((1 - 5)² + (3 - (-3))² + (10 - 2)²) = √((-4)² + (6)² + (8)²) = √(16 + 36 + 64) = √116 = 2√29
- Сторона AC: AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
AC = √((1 - 3)² + (3 - 7)² + (10 - (-4))²) = √((-2)² + (-4)² + (14)²) = √(4 + 16 + 196) = √216 = 6√6

Теперь, чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех сторон треугольника: Периметр = AB + BC + AC. В данном случае, Периметр = 2√35 + 2√29 + 6√6.

Чтобы найти углы треугольника, можно воспользоваться формулой косинусов: cos(угол) = (a² + b² - c²) / (2ab), где a, b и c - длины сторон треугольника, примыкающие к углу, у которого мы хотим найти значение.

- Угол A: cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC)
cos(A) = (4√29² + 6√6² - 2√35²) / (2 * 2√29 * 6√6)
cos(A) = (4 * 29 + 6 * 6 - 2 * 35) / (4√841 * √6)
cos(A) = (116 + 36 - 70) / (4√841 * √6)
cos(A) = 82 / (4 * 29 * √6)
cos(A) = 82 / (116√6)
A = arccos(82 / (116√6))

Аналогично можно вычислить углы B и C.

Совет: Для удобства можно использовать калькулятор для вычисления косинусов и получения итоговых значений углов.
Ещё задача: Найдите периметр и углы треугольника, заданного вершинами a(-1, 2, 3), b(4, -2, 0), c(0, 1, -2).