Каковы значения координат центра и радиуса окружности, описываемой уравнением (x-4)^2+(y+1)^2=9?

Суть вопроса: Уравнение окружности

Разъяснение: Дано уравнение окружности вида (x-4)^2+(y+1)^2=9. Чтобы определить центр окружности и её радиус, нам необходимо привести уравнение к каноническому виду окружности. Каноническая форма окружности имеет вид (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a,b) - координаты центра окружности, а r - радиус.

1. Сначала раскроем скобки в исходном уравнении:
(x-4)^2 + (y+1)^2 = 9
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = 9

2. Объединим подобные слагаемые и перенесём число 9 в правую часть:
x^2 - 8x + y^2 + 2y + (16 + 1) = 9
x^2 - 8x + y^2 + 2y + 17 = 9

3. Выразим полные квадраты в исходном уравнении:
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) + 17 = 9
(x-4)^2 + (y+1)^2 = 9 - 17
(x-4)^2 + (y+1)^2 = -8

4. Очевидно, что сумма квадратов не может быть отрицательной, поэтому данное уравнение не определяет окружность. Ответ: данное уравнение не имеет решений.

Совет: При решении задач на уравнения окружностей важно уметь распознавать каноническую форму окружности (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Также полезно знать, что радиус окружности представлен в уравнении в виде r^2.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение окружности (x+2)^2 + (y-3)^2 = 25 и найдите координаты центра и радиус окружности.

Тема урока: Уравнения окружностей

Разъяснение: Чтобы определить значения координат центра и радиуса окружности, описываемой уравнением (x-4)^2+(y+1)^2=9, мы должны привести данное уравнение к стандартному виду уравнения окружности.

Стандартное уравнение окружности имеет вид (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Данное уравнение уже близко к стандартному виду. Оно имеет форму (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, но вместо r^2 у нас равно 9. Значит, радиус r = √9 = 3.

Теперь нужно определить координаты центра (h, k). Для этого мы замечаем, что у нас есть выражения (x - h) и (y - k). В данном случае (x-4) соответствует (x - h) и (y+1) соответствует (y - k).

Таким образом, мы выясняем, что координаты центра (h, k) равны (4, -1).

Например: Найдите значения координат центра и радиуса окружности, описываемой уравнением (x-1)^2+(y+2)^2=16.

Совет: Чтобы лучше понять уравнение окружности, рекомендуется изучать геометрическое представление уравнения и его свойства, а также решать практические задачи.

Закрепляющее упражнение: Определите значения координат центра и радиуса окружности, описываемой уравнением (x+3)^2+(y-4)^2=25.