Каковы объемы правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в неё конуса, если боковое ребро равно 2 и образует

Содержание: Объемы правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в неё конуса

Разъяснение:
Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание формулы для объема пирамиды и конуса. Объем пирамиды выражается следующей формулой: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды. Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * h, где π - число пи, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В данной задаче шестиугольная пирамида является правильной, то есть её основание - правильный шестиугольник. Так как боковое ребро пирамиды равно 2 и образует с плоскостью основания угол 60°, можно найти высоту пирамиды, используя тригонометрические соотношения.

Высоту пирамиды можно найти как проекцию бокового ребра на основание. Так как боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, высота пирамиды будет равной h = 2 * sin(60°) = 2 * (sqrt(3) / 2) = sqrt(3).

Зная высоту пирамиды, мы можем найти площадь основания, зная формулу для площади правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника S = (3 * sqrt(3) * a^2) / 2, где a - длина стороны шестиугольника.

Так как шестиугольная пирамида - правильная, сторона основания будет равна длине бокового ребра, то есть a = 2. Подставляя значения в формулу, получаем S = (3 * sqrt(3) * 2^2) / 2 = 6 * sqrt(3).

Итак, объем пирамиды будет V = (1/3) * 6 * sqrt(3) * sqrt(3) = 2 * sqrt(3).

Чтобы найти объем вписанного в пирамиду конуса, нам также понадобится радиус основания конуса. Радиус основания будет равен половине длины стороны шестиугольника, так как конус вписан в пирамиду. Значит, r = 2 / 2 = 1.

Подставляя значения в формулу, получаем объем конуса: V = (1/3) * π * 1^2 * sqrt(3) = (1/3) * π * sqrt(3).

Демонстрация:
Задача: Найдите объемы правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в неё конуса, если боковое ребро равно 4 и образует с плоскостью основания угол 30°.

Решение:
Высота пирамиды: h = 4 * sin(30°) = 4 * (1/2) = 2
Площадь основания пирамиды: S = (3 * sqrt(3) * 4^2) / 2 = 24 * sqrt(3)
Объем пирамиды: V = (1/3) * 24 * sqrt(3) * 2 = 16 * sqrt(3)

Радиус основания конуса: r = 4 / 2 = 2
Объем конуса: V = (1/3) * π * 2^2 * 2 = (8/3) * π

Совет:
Для лучшего понимания математических формул и решения данной задачи, рекомендуется повторить тригонометрические соотношения, формулу площади правильного шестиугольника и формулы для объема пирамиды и конуса.

Упражнение:
Найдите объемы правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в неё конуса, если боковое ребро равно 3 и образует с плоскостью основания угол 45°.