Каково значение скалярного произведения a→ и b→, где a→=3⋅u→−4⋅n→ и b→=3⋅u→+3⋅n→, при условии, что векторы u→

Название: Скалярное произведение векторов

Описание: Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле: a·b = |a| * |b| * cos(θ), где |a| и |b| - длины векторов a→ и b→ соответственно, а θ - угол между векторами.

В данной задаче у нас заданы векторы a→ и b→, которые выражены через векторы u→ и n→. Векторы u→ и n→ являются взаимно перпендикулярными и имеют одинаковую длину.

Вычислим сначала длину векторов a→ и b→. По условию, вектор a→ = 3⋅u→ − 4⋅n→. Так как |u→| = |n→|, то посчитаем длину как |u→| = |n→| = sqrt(u² + n²). Затем, найдем значение скалярного произведения. Используем формулу и подставим значения.

a·b = (3⋅u→ − 4⋅n→) · (3⋅u→ + 3⋅n→)
= 3⋅u→·3⋅u→ + 3⋅u→·3⋅n→ − 4⋅n→·3⋅u→ − 4⋅n→·3⋅n→
= 9⋅(u→·u→) + 9⋅(u→·n→) − 12⋅(n→·u→) − 12⋅(n→·n→)

Так как векторы u→ и n→ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, получаем:

a·b = 9⋅(u→·u→) + 9⋅(0) − 12⋅(0) − 12⋅(n→·n→)
= 9⋅|u→|² - 12⋅|n→|²
= 9⋅(u² + n²) - 12⋅(u² + n²)
= 9u² + 9n² - 12u² - 12n²
= -3u² - 3n²

Таким образом, значение скалярного произведения равно -3u² - 3n².

Доп. материал:
Дано: u→ = (2, 0), n→ = (0, 3)
Вычислим значение скалярного произведения a→ и b→.

a→ = 3⋅u→ - 4⋅n→ = 3⋅(2, 0) - 4⋅(0, 3) = (6, 0) - (0, 12) = (6, -12)

b→ = 3⋅u→ + 3⋅n→ = 3⋅(2, 0) + 3⋅(0, 3) = (6, 0) + (0, 9) = (6, 9)

Теперь найдем значение скалярного произведения:

a·b = (-3⋅u² - 3⋅n²) = -3⋅(2² + 0²) - 3⋅(0² + 3²) = -3⋅4 - 3⋅9 = -12 - 27 = -39

Таким образом, значение скалярного произведения a→ и b→ равно -39.

Совет: Для лучшего понимания и вычисления скалярного произведения, важно запомнить формулу для его вычисления и умение применять её в различных задачах. Также необходимо уметь находить длину векторов и работать с перпендикулярными векторами.

Задание:
Дано: u→ = (1, 0), n→ = (0, -2)
Вычислите значение скалярного произведения a→ и b→, где a→ = 2⋅u→ - 3⋅n→ и b→ = 4⋅u→ + n→.